Вы знакомы с функциями у=х, у=х 2, у=х З, у=1/х и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции у = х Р, где р - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х Р. Перейдем к подробному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р. т. е. функции у = х Р, где р - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х Р. Перейдем к подробному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р.

Рис. 1

1. Показатель р=2n - четное натуральное число. В этом случае степенная функция у = х 2n, где n - натуральное число, обладает следующими свойствами: -Область определения - все действительные числа, т. е. множество R ; -множество значений - неотрицательные числа, т. е. y 0; -функция у=х 2n четная, так как (-х) 2n = х 2n ; -функция является убывающей на промежутке xO и возрастающей на промежутке x O. -График функции у = х Р имеет такой же вид, как, например, график функции у = х 4 (рис. 1).

Рис.2

. Показатель р=2 n -1 - нечетное натуральное число. 2. Показатель р=2 n -1 - нечетное натуральное число. В этом случае степенная функция y = х 2 n-1, где 2n-1 - натуральное число, обладает следующими свойствами: где 2n-1 - натуральное число, обладает следующими свойствами: - область определения - множество R; - множество значений - множество R; -Функция y = х 2 n-1 нечетная, так как (-х) 2 n-1 =- х 2 n-1 ; (-х) 2 n-1 =- х 2 n-1 ; - функция является возрастающей на всей действительной оси. График функции y = х 2 n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y = х 3 (рис. 2).

Рис.3

3. Показатель р = - 2n, где n - натуральное число. В этом случае степенная функция y=х -2n обладает следующими свойствами: - область определения - множество R, кроме х= 0; - множество значений - положительные числа у>0; - Функция y=х -2n - четная, так как (-х) -2n = х -2n ; -функция является возрастающей на промежутке х 0. График функции y=х -2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=х -2 (рис.3).

Рис.4

Показатель р = - (2n - 1), где n - натуральное число. 4. Показатель р = - (2n - 1), где n - натуральное число. В этом случае степенная функция y=х -(2n-1) обладает следующими свойствами: - область определения - множество R, кроме х=0; - множество значений - множество R, кроме у=0; - функция нечетная, так как (-х) -(2n-1) = х -(2n-1) ; - функция является убывающей на промежутках х 0. График функции y=х -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=х -3 (рис. 4). Рис.4

рис.5 a

рис.5 б

Показатель р - положительное действительное нецелое число,( p-несократимая обыкновенная дробь вида 2m/2n+1 или 2m+1/2n ) В этом случае функция у=х Р обладает следующими свойствами: область определения х 0; множество значений у 0; функция является возрастающей на промежутке [0; ). График функции у=х Р, где р - положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график Функции (при 0<р< 1) или как, например, график функции (при p>1) (рис.5 a, б),если числитель или знаменатель является четным числом.

Показатель р - положительное действительное нецелое число,( p-несократимая обыкновенная дробь вида 2m+1/2n+1 ) В этом случае функция у=х Р обладает следующими свойствами: область определения хϵ R множество значений уϵ R функция является возрастающей на промежутке R. График функции у=х Р, где р - положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции (при 0<р< 1).

Рис.6 а

Показатель -р - отрицательное действительное нецелое число,( p-несократимая обыкновенная дробь вида 2m+1/2n+1 ) В этом случае функция у=х -р обладает следующими свойствами: область определения хϵ R,кроме х=0, множество значений уϵ R, кроме х=0. функция убывает на каждом промежутке области определения. График функции у=х -р, где -р – отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции (при 0<р< 1) на рисунке 6 б.

Рис.6 б

Показатель -р - отрицательное действительное нецелое число,( p-несократимая обыкновенная дробь вида или 2m/2n+1 ) В этом случае функция у=х -р обладает следующими свойствами: область определения х>0, множество значений у>0. функция убывает на промежутке(0; ). График функции у=х -р, где -р – отрицательное нецелое число вида 2m+1/2n или 2m/2n+1, имеет такой же вид, как, например,график функции (при -1<-р< 0) на рисунке 6 б. (при -1<-р< 0) на рисунке 6 б.

Рис.6 в