Определение производной производной

Задача о вычислении мгновенной скорости s ( t ) = 4 t² - закон движения материальной точки по прямой s - путь, пройденный за время t (t 0) Вычислим v ср - среднюю скорость точки за промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5 s (2) =4 · 2² =16; s (5) =4 · 5² =100; s (5) ̶ s (2) = 100 – 16 = 84;t 2 - t 1 =5 – 2.

Задача о вычислении мгновенной скорости s ( t ) = 4 t ² Вычислим v ср s (t) = 4 t ²; s (t + Δ t) =4 (t + Δ t)² ; Δ s = s (t + Δ t) ̶ s (t) – путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до t + Δ t за промежуток времени от t до t + Δ t Δ s = 4 (t + Δ t)² - 4 t ² = (8 t + 4Δ t) Δ t ;

Общий случай: точка движется по прямой по закону s(t) = f (t) Тогда её мгновенной скоростью v в момент времени t называют предел ( если он существует ), к которому стремится её средняя скорость на промежутке времени [t; t + Δt] при Δ t 0 : Величина Δ t – приращение времени Величина Δ f = f(t + Δt) – f(t) - приращение пути v = lim v ср = Δ t 0 lim Δ t 0 v = lim Δ t 0

В у х 0 Повторение: вычисление тангенса угла наклона прямой к оси Ох А С y = k x у х Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой

у = f(x) С В кассссательная Касательной к графику функции f(x) в точке А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А. секущая у х 0 Дадим определение кассссательной к графику функции A α k сек. = tg β

х y 0 Секущая стремится занять положение кассссательной. То есть, кассссательная есть предельное положение секущей. Касательная Секущая Задача о вычислении тангенса угла наклона кассссательной к графику функции При Δ х 0 угловой коэффициент секущей (k сек. ) стремится к угловому коэффициенту кассссательной (k касссс. ) Δ х 0 k касссс. = lim k сек. = lim lim tg β = tg α Δ х 0 = k сек. y = kx + b

v = lim Δ t 0 Задача о вычислении мгновенной скорости Задача о вычислении тангенса угла наклона кассссательной к графику функции tg α = lim Δх 0Δх 0 k касссс. В каждой из задач надо было найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

В математике операция нахождения предела отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δ x, при условии, что приращение Δ x 0 называется - дифференцирование функции Результат выполнения называют производной обозначают: f '(x)= lim Δ х 0

Определение производной Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке (f) к соответствующему приращению аргумента (x), когда приращение аргумента стремится к нулю

Определение производной

Пример нахождения производной Решение

Механический смысл производной Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 : S'(t)= V мг (t) v мг. (t) = lim Δ t 0

Геометрический смысл производной. Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту кассссательной к графику функции y = f(x) в этой точке.