Неизвестное об известном Электронное учебное пособие на проценты, смеси, сплавы Составитель: Шитик Ирина Савиевна учитель математики высшей квалификационной категории Стрежевой

I.Понятие о проценте.Понятие о проценте. Задачи на проценты. Практикум. Задачи для самостоятельной работы. II.Простой процентный рост.Простой процентный рост. Практикум. Задачи для самостоятельной работы. III. Сложный процентный рост.Сложный процентный рост. Практикум. Задачи для самостоятельной работы. IV. Рациональный способ решения задач на смеси и сплавы. Практикум. Задачи для самостоятельной работы. V.Задачи повышенного уровня сложности. Разные задачи. VI. Итоговый тест.

Проценты – одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3 % избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74 %, промышленное производство увеличилось на 3.2%, банк начисляет 8 % годовых, молоко содержит 1,5 % жира, ткань содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе. Еще с младших классов нам известно, что одним процентом от любой величины – денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. – называется одна сотая ее часть. Обозначается процент знаком %. Таким образом, 1 % - это 0,01, или часть величины. Приведем примеры: - 1 % от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) – это 2300 : 100 = 23 рубля; - 1 % от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), - это 1,45 млн. человек; - 3 %-я концентрация раствора соли – это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора – это часть, которую составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).

Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100 % от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке «хлопок 100 %» означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников. Слово «процент» происходит от латинского pro centum, означающий «от сотни» или «на 100». Это словосочетание можно встретить и в современной речи. Например, говорят: «Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы». Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7 % участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова «процент»: 7 % - это 7 из 100, 7 человек из 100 человек. Знак «%» получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход. Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.

Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например: 58 % = = 0,58; 4,5 % = = 0,045; 200 % = = 2. Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100: 0,58 = = (0,58 · 100)% = 58 %; 0,045 = = (0,045 · 100)% = 4,5 % и т.д. В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина – 50 %, четверть – 25 %, три четверти – 75 %, пятая часть – 20 %, три пятых - 60 % и т.д. Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.

Точно так же увеличить в 2 раза – это значит увеличить на 100 %, увеличить в 3 раза – это значит увеличить на 200 %, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50 %: 100 % 100 % 100 % a а а 100 % 200 % 50% 2а 3а а 200 % 300 % 50 % Аналогично -увеличить на 300 % - это значит увеличить в 4 раза, -уменьшить на 80 % - это значит уменьшить в 5 раз.

Проценты5%10%20%25%40%50%60%75%80%100 % Запись в виде десятичной дроби (· 0,01) 0,050,10,20,250,40,50,60,750,81 Запись в виде обыкновенной дроби (: 100) 1/201/101/51/42/51/23/53/44/51 Различные обозначения : ПроцентыЗапись в виде десятичной дроби Запись в виде обыкновенной дроби 18 %0,1818/ %1,35135/100 р %0,01рр/100

Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% («целое»), а ее часть b выражается числом р %: 100 % - а р % - b 100 % - а р % - b В зависимости от того, что неизвестно – a, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р %выражается дробью.

I. Нахождение процента от числа. Чтобы найти от а, надо а умножить на : Итак, чтобы найти р % от числа, надо это число умножить на дробь. Например, 20 % от 45 кг равны 45 · 0,2 = 9 кг, а 118 % от х равны 1,18х. II. Нахождение числа по его проценту. Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью (р 0), надо b разделить на : Таким образом, чтобы найти число по его части, составляющей р % этого числа, надо эту часть разделить на. Например, если 8 % длины отрезка составляет 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4 : 0,08 = 240 : 8= 30см.

III. Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а (а 0), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а,а затем эту часть выразить в процентах: Значит, чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100. Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляет раствора. Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.

Математический диктант ( В виде теста с выбором ответа с последующие проверкой.) ВАРИАНТ 1 Практикум 1. Заштрихуйте часть фигуры: а) 50%; б) 20%. 2. Данную часть выразите в виде обыкновенной дроби: а) б)

3. Найдите: а) 50% от 6 м; б) 20% от 35 дм; в) 25% от 32 кг; г) 10% от 48 ц. 4. Определите, какой процент всей фигуры заштрихован: а) б) в) [50 %] 5. Известна площадь заштрихованной части (см. задание 4) фигуры. Определите площадь всей фигуры: а) S з.ч. = 5 м²; б) S з.ч. = 90 га; в) S з.ч. = 150 га. [3 м] [7 дм] [8 кг] [4,8 ц] [30 %][75 %] [10 м²] [300 га] [200 га]

Расшифруйте математический термин, подобрав указанные доли величины. четверть 80% примерно треть 20% половина 25% пятая часть 50% примерно две трети 75% четыре пятых 66% три четверти 33% Н Ц П О Т Е Р

Примеры 1. Найдите 48% от 250. [0,48 · 250 = 120] 2. Найдите число, 8% которого равны Сколько процентов составляет 180 от 450?

4. Какое растение живет дольше и на сколько лет: брусника, или черника, если 5% возраста брусники составляет 15 лет, а 7 % возраста черники – 21 год? Брусника Средняя продолжительность - ? Лет – 100%; 15 лет – 5%; Черника Средняя продолжительность - ? Лет – 100%; 21 год – 7 %;

Задачи для самостоятельной работы. 1. Заштрихуйте часть фигуры: а) 25%; б) 10%. 2. Данную часть выразите в виде обыкновенной дроби: а) б)

3. Найдите: а) 25% от 12 руб.; б) 10% от 23 м; в) 50% от 4 т; г) 20% от 45 га. [3 руб] [2 т] [9 га] [2,3 м] 4. Определите, какой процент всей фигуры заштрихован: а) б) в) [50 %][40 %][25 %] 5. Известна площадь заштрихованной части (см. задание 4) фигуры. Определите площадь всей фигуры: а) S з.ч. = 10 га; б) S з.ч. = 80 м²; в) S з.ч. = 75 га. [20 га] [200 м²] [300 га]

6. Организм человека состоит: из воды на 60% (в массовом отношении), из белка – на 14%, жиров – на 10%, углеводов – на 1%, золы – на 5% и других веществ. Определите массу каждого элемента в организме человека массой 50 кг. 7. Масса крови в организме человека составляет около 8% его массы. Определите массу крови в организме человека массой 70 кг.

Простой процентный рост. Если некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый одинаковый фиксированный период времени, то получаем формулу простого процентного роста:, где р – процентная ставка n – период времени S - начальная сумма S n – конечная сумма Если некоторая величина уменьшается каждый одинаковый фиксированный период времени, то получаем формулу простого процентного роста :

Практикум. Задача 1. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 5000 р. Какая сумма будет на его счете через год ? Через два года? через 10 лет? Решение: Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки р = 0,08, период времени n = 1 год и первоначального вклада S = 5000 : Ответ : через год на счете будет 5400 р. Период времени n = 10 лет; процентная ставка p = 0,08; первоначальный вклад S = 5000 рублей:

Задача 2. При какой месячной процентной ставке вклад на сумму 1000 р. увеличится за год до 1060 р.? Решение: Подставим в формулу простого процентного роста величину начального вклада S = 1000, конечной суммы S n = 1060 и числа месяцев n = 12 : Решим полученное уравнение и найдем неизвестное значение р: Ответ : процентная ставка должна быть равна 0,5 % в месяц.

Задача 3. Новый компьютер был куплен за р. Каждый год его амортизация составляет 20 %. Сколько будет стоить компьютер через 2 года? Решение: Выражение «амортизация составляет р % в год» означает, что каждый год первоначальная стоимость компьютера уменьшается на р %. Для решения задачи подставим в формулу простого процентного роста годовой процент амортизации компьютера р = 20 %, количество лет его использования n = 2 и первоначальную стоимость S = : Ответ : через 2 года компьютер будет стоить 7200 р.

Задачи для самостоятельной работы. Задача 1. «Начальная сумма составляет 50 тыс. р. и ежегодно увеличивается на 20 %, считая от начальной суммы». Какая из перечисленных ниже формул соответствует данному условию? Задача 2. Для нормальной работы пансионата требуется 600 электролампочек. Каждый месяц требуют замены 10 % лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить нормальное освещение в пансионате в течении года?

S рублейS n рублейр %n дней ? ?6 ? ?65 Задача 3. Стоимость еженедельного журнала в день выпуска составляет S рублей. Каждый следующий день в течение недели его стоимость уменьшается на р % от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость S n журнала через n дней?

Задача 4. Стоимость килограмма овощей в течение месяца после сбора составляет S рублей. Каждый следующий месяц до нового урожая стоимость увеличивается на р % от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость S n килограмма овощей через n месяцев? S рублейS n рублейр %n дней ,5? 25?203 ? ?

Сложный процентный рост. В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10 % от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход – «проценты», как его обычно называют. Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 10 % начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Пусть банк начисляет доход в размере р % годовых, внесенная сумма равна S p., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна S n p. Величина р % от S составляет и через год на счете окажется сумма то есть начальная сумма увеличится в За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма Аналогично и т.д. Другими словами, справедливо равенство Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Практикум. Задача 1. Какая сумма будет на срочном счете вкладчика через 4 года, если банк начисляет доход в размере 10 % годовых и внесенная сумма равна 2000 р.? Решение: Подставим в формулу значение процентной ставки р = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим : Ответ : через 4 года на срочном счете будет сумма 2928,2 р. Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величины, а при сложном росте – исходя из суммы последнего начисления.

Задача 2. Банк начисляет 8 % годовых, а внесенная сумма равна 5000 р. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет : а) при наличии банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов? Решение: При простом процентном росте через 5 лет сумма составит а при сложном Ответ : при простом проценте будет сумма 7000 р., а при сложном – 7346, 64 р. Полученная формула сложного процентного роста применима не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов, считая от последнего ее значения. При уменьшении величины на определенное число процентов, считая от последнего значения, в формуле, как и для простого роста, вместо знака «плюс» появляется знак «минус».

Задачи для самостоятельной работы. Задача 1. Какая сумма будет на срочном вкладе через 3 года, если на него положены 2000 р. под 5 % годовых? Задача 2. Первый срочный вклад равен 8000 р. под 10 % годовых, а второй – 7500 р. под 20 % годовых. На каком из вкладов через 3 года сумма будет больше и на сколько? Задача 3. Начальный вклад клиента банка составил р. Годовая процентная ставка банка 8 %. Каким станет вклад через 2 года, если : а) банк начисляет простые проценты; б) банк начисляет сложные проценты? Задача 4. В первый год фермер обработал 20 га земли. Затем, переходя к интенсивным способам земледелия, он в течение трех лет сокращал посевные площади на 10 % по сравнению с предыдущим годом. Сколько гектаров составили посевные площади через 3 года?

Часть А. 1 вариант. Площадь земель в фермерском хозяйстве распределена следующим образом : пастбища занимают 14 га; пашни – 10 га. Какой примерно процент площади занимают пастбища? 2 вариант. Площадь земель в фермерском хозяйстве распределена следующим образом : земли, занятые постройками с приусадебными хозяйствами, занимают 4 га, а сады – 27 га. Какой примерно процент площади занимают сады?

Часть В. 1 вариант. Малина стоит 200 рублей за килограмм, а клюква – 250 рублей за килограмм. На сколько процентов малина дешевле клюквы? 2 вариант. Черешня стоит 150 рублей за килограмм, а вишня – 120 рублей за килограмм. На сколько процентов черешня дороже вишни?

Часть В. 1 вариант. Фирма изготавливает и продает пакеты. Стоимость заказа из 100 пакетов составляет 61 р., а заказа из 300 пакетов – 141 р. На сколько примерно % стоимость одного пакета при заказе 300 штук меньше, чем стоимость одного пакета при заказе 100 штук? Ответ округлите до целого. 2 вариант. Фирма изготавливает и продает календари. Стоимость заказа из 100 календарей составляет 480 р., а заказа из 300 календарей – 1020 р. На сколько примерно % стоимость одного календаря при заказе 300 штук меньше, чем стоимость одного календаря при заказе 100 штук? Ответ округлите до целого.

Часть С. 1 вариант. Яблоки подешевели на 20 %. Сколько яблок теперь можно купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг. 2 вариант. Яблоки подорожали на 20 %. Сколько яблок теперь можно купить на те же деньги, на которые раньше покупали 3 кг.

Часть С. 1 вариант. На аукционе одна картина была продана с прибылью 20 %, а другая – с прибылью 50 %. Общая прибыль от продаж двух картин составила 30 %. У какой картины первоначальная цена была выше и во сколько раз?