Ответьте на вопросы Всегда ли можно выполнить деление многочлена на многочлен? Сформулируйте теорему о делении с остатком многочлена А(х) на В(х). Какие вы знаете способы деления многочлена на многочлен? Какое число называют корнем многочлена А(х)?

Устно Является ли число 4 корнем многочлена Найдите корни многочлена

Деление многочлена на двучлен.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – α равен А(α). Доказательство: Степень двучлена равна 1. Следовательно, степень остатка при делении A(x)на двучлен равна 0, т.е. остаток должен быть числом r. Отсюда, A(x) = (x - α ) Q(x) + r. Чтобы найти r, положим х = α. Получаем, А(α)=(α-α)٠Q(α )+ r, т.е. r = A(α ).

Примеры применения теоремы: Найдите остаток от деления многочлена А(х)= х 4 – 6 х на х +2. Найдите остаток от деления многочлена А(х)= х 4 – 6 х на х +2. Решение: A(-2)= =72. Решение: A(-2)= =72. Доказать, что многочлен Доказать, что многочлен А(х) = х 4 – 6 х х + 18 А(х) = х 4 – 6 х х + 18 делится без остатка на х – 2. делится без остатка на х – 2. Решение: A(2)= =0. Решение: A(2)= =0.

Выполните упражнение: Многочлен А(х) при делении на х – 1 дает остаток 3, а при делении на х – 2 дает остаток 5. Найдите остаток от деления А(х) на

Схема Горнера A(x)= a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + … + a n A(x) = Q(x)(x - α) + b n,где b n – остаток, а неполное частное Q(x)=b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1. a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + … + a n =(b 0 x n-1 + b 1 x n-2 +…+b n-1 )·(x–α)+ b n = b 0 x n +b 1 x n-1 +…+b n-1 x-α b 0 x n-1 -α b 1 x n-2 -…-α b n-1 + b n = b 0 x n +(b 1 -α b 0 )x n-1 +(b 2 - α b 1 )x n-2 +…+(b n -α b n-1 ). Получим, a 0 =b 0 и a k =b k -α b k-1. Отсюда, b k = a k + α b k-1, (1 к n).

Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка b n a0a0a0a0 a1a1a1a1 a2a2a2a2 a n-1 anananan b 0 = a 0 b 1 =a 1 +αb 0 b 2 =a 2 +α b 1 b n-1 =a n-1 +α b n- 2 b n =a n +α b n-1

Правило отыскания коэффициентов неполного частного и остатка. Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого. Чтобы найти остальные коэффициенты надо к стоящему над ячейкой числу первой строки прибавить произведение α и предыдущего элемента второй строки. В последней ячейке 2 строки под свободным членом делимого получается остаток от деления.

Вычислите значение многочлена А(х) при х = 3, неполное частное и остаток, где А(х) =