Нормальний закон розподілу Підготували студенти 2 курсу 7 групи економічного факультету: Федорчук Юля Снопко Ілона Мельніченко Таміла Віріч Оксана Москаленко Вікторія

План 1. Нормальний закон розподілу. Графіки до нормального закону розподілу. 1.1 Приклади 2. Визначення медіани, асиметрії і ексцесу. 2.1 Приклади 3. Правило трьох сигм 3.1 Приклади

Випадковою величиною Х називають розподіл нормальних з параметрів і якщо щільність його ймовірності має вигляд: 1. Нормальний закон розподілу. Графіки до нормального закону розподілу.

Функція нормального закону розподілу: N ( а : σ ) a – математичне сподівання σ – середнє квадратичне відхилення

Графік функції закону розподілу a > 0

Визначимо інтегральну функцію розподілу і намалюємо графік

Приклади 1. Випадкові похибки вимірювання підпорядковані нормальному закону. Систематична похибка вимірювального приладу = 0, а середнє квадратичне відхилення похибки – 0,05 мм. Знайти ймовірність того, що ця похибка за абсолютною величиною буде меншою 0,15 мм. Розв'язання: У рівності покладемо a = 0 (систематична похибка, тобто математичне сподівання випадкових похибок = 0), Таким чином, ймовірність того, що випадкова похибка вимірювання за абсолютною величиною буде менша 0,15 мм = 0,9973

2. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом, її математичне сподівання = 30, а середнє квадратичне відхилення – 10. Знайти ймовірність того, що Х матиме значення з інтервалу ( 10 ; 50 ) Розв'язання: Згідно умови,, тому за формулою одержимо: Тут використано властивості непарності інтегральної функції Лапласа Ф ( - х ) = - Ф ( х ) та значення Ф ( 2 ) з таблиці значень цієї функції

2. Визначення медіани, асиметрії й ексцесу. Медіаною називається значення, для якого виконується рівність: P (- < X < Me ) = P (Me < X < - ) За формулою: P ( α < x < β ) = F ( β ) – F (α ) F ( Me ) – F (- ) = F ( ) – F ( Me ) = F ( Me ) + F ( Me ) = F ( ) + F ( ) = 1 2 F ( Me ) = 1 F ( Me ) = ½ Для нормального розподілу ВВ: Me = а

Асиметрія ( As ) – це відношення центрального моменту третього порядку до кубу середнього квадратичного відхилення. As = - центральний елемент третього порядку Для нормального розподілу ВВ: = 0

Ексцесом ( Es ) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за наступною формулою:, Es=0

Приклади X p0,100,250,400,150,10 Дано розподіл деякої неперервної випадкової величини: Знайти асиметрію та ексцес розподілу.

Розв'язання : Знаходимо числові характеристики:

Знаходимо центральні моменти і :

Знаходимо асиметрію: Знаходимо ексцес: Розподіл заданої випадкової величини незначно відрізняється від нормального. Крива розподілу притуплена ( ексцес від'ємний ) і витягнута вправо ( має додатне значення асиметрії ).

3. Правило трьох сигм Якщо абсолютна величина відхилення ВВ від її математичного сподівання не перевищує потрійного середньоквадратичного відхилення, то є підстави вважати, що ВВ розподілена за термальним законом, в іншому випадку ВВ не розподілена нормально.

З ймовірністю близької до 1 значення нормального розподілу ВВ лежать в інтервалі довжиною

Приклади Нормально розподілена випадкова величина має параметри розподілу:,. Вказати інтервал відхилення випадкової величини від математичного сподівання, якщо ймовірність попадання в ці межі складає 0, Розв'язання: Для заданої ймовірності відхилення не перевищує трьох сигм, тому інтервал буде:

Дякуємо за увагу!!! Успіхів!!!