«Числа Фібоначчі»

Мета: розглянути послідовність чисел Фібоначчі як джерело багатьох відкриттів. Для досягнення мети необхідно виконати такі завдання: ознайомитись з біографією Леонардо Фібоначчі та історією появи його послідовності; зясувати історичну сутність послідовності; переконатись, що Книга Абака - головна праця, присвячена викладу та пропаганді десяткової арифметики; зясувати сутність Золотого перерізу; дослідити прояви Божественної пропорції в навколишньому житті; розглянути заслуги і досягнення вченого. Предмет дослідження: Залежність між наступним числом послідовності та сумою двох попередніх. Методи дослідження: Дослідницька робота з вимірювання різних частин тіла людини та обробка одержаних даних.

Біографія Фібоначчі Про буття Леонардо Пізанського (Фібоначчі) відомо небагато. Невідома навіть точна дата його народження. Вважається, що Фібоначчі народився десь в 1170 році. Батько Фібоначчі енергійно торгував в одній з факторій, заснованих італійцями на північному узбережжі Африки. Завдяки цьому йому вдалося "влаштувати" свого сина, майбутнього великого математика Фібоначчі, в одну з арабських шкіл, де він і зміг отримати чудову для того часу математичну освіту.

У молодості Леонардо багато подорожував, супроводжуючи батька в ділових поїздках. Під час таких поїздок він багато спілкувався з місцевими вченими.

На честь вченого названо числовий ряд, в якому кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх. Ця числова послідовність носить назву чисел Фібоначчі: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 6 10, 987, 1597,2584, 4181, 6765, 10946, 17711, , 46368, 75025, ,196418, , , ,... Цей ряд був відомий ще у Стародавній Індії задовго до Фібоначчі. Свою нинішню назву числа Фібоначчі отримали завдяки дослідженню властивостей цих чисел, проведених вченим у його праці «Книга абака» (1202).

Книга абака (лат. Liber abaci) - головна праця, присвячена викладу та пропаганді десяткової арифметики. Книга вийшла в 1202 р., друге перероблене видання р. До наших днів дійшло лише друге видання. Абаки - Леонардо Пізанський називав арифметичні обчислення. Важливо, що книга Фібоначчі була написана простою мовою і розрахована на тих, хто займається практичним рахунком,в першу чергу торговців.

Досконале число (грец.. ριθμ ς τέλειος) - натуральне число, яке дорівнюєсумі всіх своїх власних дільників (тобто всіх додатних дільників,відмінних від самого числа). Перше досконале число - 6 ( = 6), наступне - 28 ( = 28). У міру того, як натуральні числа зростають, такі числа зустрічаються все рідше. Третє досконале число - 496, четверте 8128, п'яте , шосте ,сьоме Властивості послідовності Фібоначчі 1. Відношення кожного числа до наступного наближається до 0,618. Відношення ж кожного числа до попереднього наближається до 1, При діленні кожного числа на наступне за ним, через одне отримуємо 0,382; навпаки - відповідно 2, Підбираючи таким чином співвідношення, одержуємо основний набір фібоначчиєвських коефіцієнтів:... 4,235; 2,618;1,618; 0,618; 0,382; 0,236.

Числовий ряд, що носить сьогодні ім'я Фібоначчі, виріс із проблеми з кроликами. Людина посадила пару кроликів у загін, оточений з усіх боків стіною. Скільки пар кроликів за рік може справити на світ ця пара, якщо відомо, що кожен місяць, починаючи з другого, кожна пара кроликів вироблятиме на світ одну пару? Можете переконатися, що кількість пар в кожен з дванадцяти наступних місяців буде відповідно 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

Він розглядає розвиток ідеалізованої популяції кроликів, припускаючи що: У «нульовий» місяць є пара кроликів (1 нова пара). У першому місяці перша пара проводить на світ іншу пару (1нова пара). У другому місяці обидві пари кроликів породжують інші пари і перша пара гине (2 нові пари). У третьому місяці друга пара і дві нові пари породжують у загальному три нові пари, а стара друга пара гине (3 нові пари). Іншими словами, число пар кроликів створює ряд, кожен член в якому - сума двох попередніх. Він відомий як ряд Фібоначчі, а самі числа - числа Фібоначчі.

З тих пір, як Фібоначчі відкрив свою послідовність, були знайдені навіть явища природи, в яких ця послідовність, схоже, грає важливу роль. Одне з них – листорозміщення - правило, за яким розташовуються, наприклад, насіння в суцвітті соняшнику. Насіннячка впорядковані в два ряди спіралей, один з яких йде за годинниковою стрілкою, інший проти.

Важливо відзначити, що Фібоначчі як би нагадав свою послідовність людству. Вона була відома ще древнім грекам і єгиптянам. І дійсно, з того часу в природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології і багатьох інших областях були знайдені закономірності, описувані коефіцієнтами Фібоначчі. Однак не буде перебільшенням сказати, що це не просто гра з числами, а найважливіший математичний вираз природних явищ із всіх коли-небудь відкритих.

1. Pаковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, яка трохи поступається довжині змії. Невелика десяти сантиметрова раковина має спіраль довжиною 35 см. Відношення вимірювань завитків раковини стала і дорівнює 1,618.

2. Рослини і тварини. Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Cпіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактусах і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листів на гілці насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралеподібно. Cпіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю.

Золотий перетин (золота пропорція, розподіл в крайньому і середньому відношенні) - розподіл безперервної величини на дві частини в такому відношенні, при якому менша частина так відноситься до більшої, як більша до всієї величині. Приміром, у правильній п'ятикутній зірці, кожен сегмент ділиться перетинаючи його сегментом у золотому перерізі (тобто відношення синього відрізка до зеленого, червоного до синього, зеленого до фіолетового до, рівні 1.618

Пропорції людини також включають в себе золотий перетин. На власному дослідженню я в цьому переконалася. Хочу презентувати та переконати у цьому і Вас. Достатньо приблизити вашу долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець і відразу віднайдете у ньому формулу золотого перетину.

Дійсно, в природі і людському тілі є багато пропорціональних співвідношень, близьких до тих, які Фібоначчі називав Золотим перетином.

З метою дослідження золотого перетину Фібоначчі, було проведено виміри тіла людини. Провівши ряд розрахунків, можна назвати основні золоті пропорції тіла: 1) Співвідношення росту тіла до відстані від п'ят до точки пупа становить 1,6172 (169/104,5); 2) Співвідношення відстані від кінчиків пальців до ліктя і від зап'ястя до ліктя становить 1,6226 (43/26,5); 3) Співвідношення відстані від рівня плеча до верхівки голови і розміру голови становить 1,619 (34/21); 4) Співвідношення відстані від точки пупа до верхівки голови і від рівня плеча до верхівки голови становить 1,6104 (62/38,5); 5) Співвідношення відстані від точки пупа до колін і від колін до ступень становить 1,6176 (55/34); 6) Співвідношення відстані висота обличчя до ширини обличчя, становить 1,6016 (20,5/12,8);

7) Співвідношення відстані від верхньої лінії брів до середньої лінії губ і від верхньої лінії брів до ніздрів становить 1,6071 (9/5,6); 8) Співвідношення відстані розміру голови і верхньої лінії брів до підборіддя становить 1,6102 (19/11,8); 9) Співвідношення ширино рота до ширини носа становить 1,600 (4,8/3); 10) Співвідношення відстані між очима і верхньою лінією брів становить 1,600 (4/2,5). Так, провівши виміри тіла людини, можна зробити висновок, що середнє значення пропорції тіла коливається в границях співвідношення 42 : 26 = 1,615.