Приращение функциии и приращение аргумента 1. Приращение функциии и приращение аргумента 2. Геометрический смысл приращения аргумента и приращения функциии

=x 0 +x Приращение функциии и приращение аргумента y=f(x) x0x0 f(x)=f(x 0 +x) f(x 0 ) x f приращение аргумента: x y х = х - х 0 (1) Приращение функциии : f = f(x 0 +x)-f(x 0 ) (2) f = f(x)-f(x 0 ) (3) x В окрестности точки х 0 возьмём точку х Пусть х 0 - фиксированная точка, f(х 0 )- значение функции в точке х 0 Расстояние между точками х и х 0 обозначим х.Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х 0 : Первоначальное значение аргумента получило приращение х, и новое значение х равно х 0 +х Функция f(х) тоже примет новое значение: f(x 0 +x) Т.е., значение функциии изменилось на величину f(x)-f(x 0 ) = f(x 0 +x)- f(x 0 ), КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯf Дана функциия f(x)

прямая, проходящая через две точки графика, называется секущей x0x0 x f y = kx+b k = tg = MM 0 K tg MM O K = f(x 0 ) y M0M0 К = Определим положение секущей x o Геометрический смысл приращения аргумента и приращения функциии M x ОПРЕДЕЛИМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ И ПРИРАЩЕНИЯ АРГУМЕНТА Отметим на графике функциии f(x) точки М 0 (х 0 ; f(х 0 )) и М(х;f(х 0 + х )) Координаты точки М можно рассматривать как приращение координат точки М 0 Отметим эти приращения Через точки М и М 0 проведём прямую и запишем определение: Определим положение секущей на координатной плоскости Секущая-прямая. Положение прямой на плоскости задаёт её уравнение y = kx+b Где k- тангенс угла, который прямая образует с положительным направлением оси ОХ Отметим этот угол Выполним дополнительные построения: через точку М 0 проведём прямую, параллельную оси ОХ Отметим точку К и рассмотрим прямоугольный (почему?) ММ 0 К = MM 0 K,как соответственные углы при секущей параллельных прямых Выразим tg MM 0 K через приращение функциии и приращение аргумента: Вывод: угловой коэффициент секущей, проходящей через точки М 0 (х 0 ; f(х 0 )) и М(х;f(х 0 + х)) равен отношению приращения функциии к приращению аргумента (записать)

Задача, приводимая к понятию «производная» 1. Касательная 2. Определение положения касательной

Прямая, проходящая через точку М 0 (х 0; f(х 0 )), с отрезком которой почти сливается график функциии f(х),называют касательной к графику в точке х 0 x0x0 f(x 0 ) M0M0 X y 0

Задача: Определить положение касательной (tgφ) х у 0 М0М0 х 0 х 0 f(x 0 ) М х f(x) =x 0 +x x f =f(x 0 +x) φ Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0, приближается к положению касательной Предельным положением секущей МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная Пусть дан график функциии f(х) и касательная, проходящая через точку М 0,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0 Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0 При этом координата х точки М будет стремиться к х 0 К чему будет стремиться приращение аргумента? А к какому углу будет стремиться угол ?

Определение производной 1. Этапы определения углового коэффициента касательной 2. Определение производной

Определение производной При вычислении углового коэффициента касательной нужно было выполнить следующие операции: 1. Найти приращение функциии 2. Найти отношение приращения функциии к приращению аргумента 3.Вычислить, чему равен предел найденного отношения при стремящимся к нулю приращению аргумента Найденное таким образом число называется скоростью изменения функциии f в точке х 0 или производной функциии f в точке х 0

Определение производной Производной функциии f в точке х 0 называется предел отношения приращения функциии к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Операция нахождения производной называется: ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ