Исследовательская работа на тему: Выполнила: ученица X «В» класса Литвинова Екатерина. Научный руководитель: Крякина Н. А год МОУ Таловская СОШ

* Рассмотреть различные способы решения задач. * Выявить наиболее рациональные способы решения задач. * Развивать аналитическое мышление, эрудицию, интеллект, формировать волевые качества личности. Цели исследования

* Изучить метод решения задач различными способами. * Рассмотреть различные направления использования данного метода и применение его в задачах. * Сделать вывод. Задачи исследования

* Часть I «Различные способы решения одной задачи». * Часть II «Решение задачи различными способами с дополнительными построениями». * Часть III «Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами». План План

Часть I

В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции. В А С D O Задача 1

Способ 1. ( подобие треугольников) Пусть a = BC =Пусть х<3 ( половины AC). = = ( ): 2 = a,= 2a - Возведём в квадрат: Различные способы решения одной задачи D В А С O

Решим относительно a: D = a =, Ответ: 5 см. D В А С O Различные способы решения одной задачи

Способ 2. (тригонометрический). Из подобия BOC и AOD: Из BOC: BOC – прямоугольный. tg a = Найдем cos α либо по формуле 1 + Либо методом треугольника: Из AOD: Средняя линия равна Ответ: 5 см. D В А С O Различные способы решения одной задачи

Способ 3. ( тригонометрический). Из подобия треугольников BOC и AOD : (a + b)x=6b,. tg α = Ответ : 5 см. D В А С O Различные способы решения одной задачи

Способ 4. ( теорема Пифагора ) tg α = Из ACE:AE =из DBF:FD = AE + FD= = m + b + n + b = a + b. Средняя линия Из ACE:tg α == =3H = 49= 16* = 16*36= H= Подставив в произведение находим ==5 Ответ: 5 см. D В А С O EF m b n Различные способы решения одной задачи

Способ 5. (формулы площади) S трап = так как диагонали d и g перпендикулярны.Sтрап = *6*8=24 Sтрап =*H*H H – высота не только трапеции, но и прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. Находим: H =4,8 = Ответ: 5 см. D В А С O H Различные способы решения одной задачи

Часть II

В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции. D В А С O

Способ Продолжим ВС вправо. Проведем DK || AC. Так как ACDK – параллелограмм, то DK = 6 см. 2. BD DK, так как BD АС. BDK – прямоугольный. 3. BK = BC + AD/2 средняя линия равна половине ВК, т.е. 5 см. Ответ: 5 см Решение задач различными способами с дополнительными построениями

Способ 2 (похожий на способ 1). Проведем СЕ || BD до пересечения с продолжением AD. DE = BC, так как DBCE – параллелограмм. АЕ вычислим по теореме Пифагора из ACE (CE || BD, но BD DK, следовательно, CE AC): ; AE = a + b. Но средняя линия равна (a + b)/2, т.е. равна 5 см. Ответ: 5 см. Решение задач различными способами с дополнительными построениями

Способ Продолжим CA на расстояние AM = CO. Через точку М проведем MN || AD. BD пересекается с MN в точке N. 2. OMN – прямоугольный, OM = 6 см, ON = 8 см. следовательно, MN = 10 см (теорема Пифагора.) 3. Проведем MK || ND. Продолжим AD до пересечения c MK. MAK = BOC (по 1 признаку), следовательно, AK = BC. 4. MKDN – параллелограмм, DK = MN = 10 см. Но DK = AD + BC. Значит, средняя линия равна 5 см. Ответ: 5 см. Решение задач различными способами с дополнительными построениями

Способ 4. Продолжим AC за точку А так, что AM = OC. Продолжим BD за точку D так, что DN = BO. Итак, OMN – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора MN = 10 см. Проведем AE MN, DF MN, OK BC. AME = KOC по стороне и двум прилежащим DFN = BKO к ней углам. Следовательно, ME = KC и FN = BK, т.е. MN = AD + BC = 10 (см). Средняя линия равна (AD + BC)/2 = MN/2 = 10/2 = 5. Ответ: 5 см. Решение задач различными способами с дополнительными построениями

Способ Из подобия BOC и AOD: x/(6-x) = y/(8-y), y = 4/3 х. 2. Продолжим диагонали на отрезки, равные СО и ВО. 3. Из MON : MN = 10 см. 4. AOD ~ MON ; MN = 4/3 AD, AD = ¾ MN = ¾ 10 = 7.5 (см). 5. В BOC: 6. BOC ~ AOD. BC/AD = OC/AO, (5/3 х)/7,5 = х/(6-х); 10 х – 5/3 х 2 = 7,5, 2,5 х = 5/3 х 2 ; 7,5 = 5 х; х = 1,5 (см). 7. BC = 5/3 х. = 5/3 1,5 = 2,5 (см) 8. Средняя линия равна (AD + BC)/2 = (7,5 + 2,5)/2 = 5. Ответ: 5 см. Решение задач различными способами с дополнительными построениями

Способ MN – средняя линия трапеции. Проведем MK || BD и соединим точки N и K. 2. NK – средняя линия ACD, следовательно, NK = ½ AC; NK = 3 (см). 3. MK – средняя линия ABD, следовательно, MK = ½ BD; MK = 4 (см). 4. Угол MNK = углу AOD как углы с соответственно параллельными сторонами. 5. MNK – прямоугольный. Ответ: 5 см. Решение задач различными способами с дополнительными построениями

Способ 7. Соединим середины сторон трапеции. Легко доказать, что MPNQ – параллелограмм с прямым углом, т.е. прямоугольник со сторонам 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ = 5 см. (египетский треугольник). Решение задач различными способами с дополнительными построениями Ответ: 5 см.

Часть III

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине. Задача 1

1-й способ. Достроим треугольник АВС до прямоугольника АВСD и рассмотрим треугольники АСО и ВСО. Так как АСВD- прямоугольник, то АВ и CD - его диагонали, а в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам AO=OB=CO=OD. Значит АО=СО, что и требовалось доказать. Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

2-й способ. Отложим угол АСО равный, проведя луч СО. Так как треугольник АВС – прямоугольный, то угол САВ = СВА = По условию угол АСО равен Следовательно, треугольник АСО – равнобедренный, АО = СО, что и требовалось доказать. Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

3-й способ. Опишем около треугольника АВС окружность. Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, то есть О – центр окружности. ОА и ОС – радиусы данной окружности, значит ОА = ОС, что и требовалось доказать. Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р так, что АР : РВ = 1:2. Найти угол АСР, если угол А = 45 0, угол В = 75 0 Задача 2

1-й способ. Пусть угол АСР =. Так как угол С = 60 0, то угол РСВ =. Согласно теореме синусов в треугольниках АРС и ВРС имеем Покажем, что Действительно, так как, то Но >0, то есть ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

2-й способ. Имеем S треугольника ВРС = S треугольника АРС = Откуда И в результате получаем тот же ответ. ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

3-й способ. На продолжении стороны АС отложим AN=AC и рассмотрим треугольник BNC. В нем отрезок ВА – медиана, а точка Р делит её в отношении 2 : 1, то есть Р – точка пересечения медиан треугольника BNC. Следовательно то есть Воспользуемся теоремой тангенсов в треугольнике АВС: Где тогда Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

Но поэтому Так как То После преобразований снова получаем тот же ответ. ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

4-й способ. Введем систему координат. Имеем А (0;0), С (с;0). Так как То Теперь можно найти координаты точки В: Пусть Р (x; y); тогда, используя формулы И учитывая, что, получим Значит, Затем найдем длину РС как расстояние между точками и С (с; 0): Наконец, из соотношения находим Итак, угол АСР =. ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

5-й способ. Опишем около данного треугольника окружность. Пусть О – её центр, а СК = 2R – диаметр. Тогда КВ = угол КВС =, Угол КВN =, угол ВКN = ВАС =, угол ВNК = Из равенства получим Так как, то Это означает, что BN = ВР, то есть точки N и Р совпадают. Далее имеем угол АОС = и из равнобедренного треугольника АОС (АО = ОС = R) находим угол ОАС = ОСА = ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

6-й способ. Проведем высоту BD. Пусть АР = x, тогда АВ = 3 х. Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике АРС: Так как, то окончательно находим То есть угол АСР = ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

7-й способ. Проведем биссектрису угла С. Пусть NC = х. В треугольнике ANC имеем треугольнике NBC имеем, откуда Откуда AN = Аналогично в Значит, Наконец, в треугольнике NPC имеем Откуда И после преобразования находим ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

8-й способ. Так как в треугольниках АВС и РВС угол В – общий и В треугольнике АВС имеем Откуда Следовательно, То есть то треугольники АВС и РВС подобны. Поэтому угол РСВ = ВАС = угол АСВ = ОТВЕТ: угол АСР = Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

Найти S трапеции, если известно, что S BOC = 4 см 2 и S AOD = 9 см 2 Задача 3 (из тестов ЕГЭ) A B C D O

1 способ Ответ: 25 см 2. A B C D O F M Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

Способ 2 A B C D O Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

Способ 3 A B C D O Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

A B C D O Р М Способ 4 Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

5 способ A B C D O 4 9 Решение олимпиадных задач и из тестов ЕГЭ различными способами

Я выбрала для исследования данную тему, потому что она наиболее часто встречается в школьной программе по математике и в тестах ЕГЭ. Очень часто у детей возникают проблемы с решением задач повышенной трудности, так как не всегда удается найти правильное и рациональное решение. Я занялась исследованием метода решения задач разными способами и поняла, что данный метод позволяет найти наиболее удачный способ решения задачи. Применение

В результате исследования я достигла поставленные цели и выполнила намеченные задачи. Применение данного метода способствует развитию активно мыслящих личностей и прививает самостоятельность в поиске решений. Благодаря знанию и умению пользоваться данным методом ученики успешно сдают ЕГЭ в школе. Они также конкурентоспособны при поступлении в высшие учебные заведения. Вывод

Спасибо за внимание!