ВЫПОЛНИЛ: 10В Филиппов Александр РУКОВОДИТЕЛЬ: Мерзляков А.Ф. Дата: ( г.) ДАЛЕЕ

Вы смотрите учебно- демонстрационный материал по геометрии. Вам предлагается ознакомиться с теоремами синусов, косинусов и решениями треугольников. Данный материал не дает полной информации на данную тему, он рассчитан на аудиторию уже знакомую с данным разделом геометрии! Также здесь вы найдете примеры задач и их решения на данную тему. Все управляющие кнопки подписаны и интерфейс программы не вызовет у вас затруднений! УДАЧИ! СОДЕРЖАНИЕ НАЗАД

Теорема косинусов Теорема синусов Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Решения треугольников Нажатием мышки выберите нужную тему. НАЗАД

Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. A B C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos α ! ! ДАЛЕЕ

Следствие A B C A B C D Угол - острый Угол - тупой CD – высота AD – проекция стороны AC на сторону AB. CD – высота AD – проекция стороны AC на продолжение стороны AB. cos = AD/AC cos (180 - ) = AD / AC = –cos AD = AC cos AD= – AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB ADBC ² = AB ² + AC ² + 2AB AD cos (180 - ) = –cos D Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+»надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый. ДАЛЕЕ

Дано: Найти: Решение: AC = 5 м BC - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = 6 ² + 5 ² ,6 BC ² = BC ² = 25 BC = 5 Ответ: 5 м. BC = 25 Решение задач - пример ? AB = 6 м cos = 0,6 ДАЛЕЕ

BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos Дано: Найти: Решение: AC = 5 м cos - ? A B C Ответ: 0,2. cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB AC cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / cos = ( ) / 60 cos = 0, Решение задач - пример 2. AB = 6 м BC = 7 м ДАЛЕЕ

Дано: Найти: Решение: BC = 4 м AD - ? BD - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м. D AD = (AB ² + AC ² – BC ² ) / 2AB AD = (6 ² + 5 ² – 4 ² ) / 2 6 AD = ( – 16 ) / 12 AD = 3,75 BD = AB - AD BD = 6 – 3,75 = 2, Решение задач - пример 3. AC = 5 м AB = 6 м Содержание

Теорема 2. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB C !! AB C a/sin = b/sin β = c/sin γ a b c a b c β β γ γ ДАЛЕЕ

Дано: Найти: Решение: ABC AB - ? Ответ: b sin γ / sin ( + γ) A B C b γ b / sin β = AB / sin γ AB = b sin γ / sin β AB = b sin γ / sin (180 – ( + γ)) AB = b sin γ / sin ( + γ) Решение задач - пример 1. AC = b, γ точка B недоступна ДАЛЕЕ

Дано: Найти: Решение: = 45° b - ? A B C a b c Ответ: 3 6 / 2 a/sin =b/sin β b= a sin β/ sin b = 3 sin 60 ° / sin 45 ° β b = 3 ( 3 / 2) / (1 / 2 ) b = 3 6 / 2 Решение задач - пример 2. β = 60° a = 3 м Содержание

b ! Теорема 3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол. AB C AB C a a b β β Если > β, то a > b ! ДАЛЕЕ

C Решение задач - пример 1. Дано:Решение: ABC - равнобедренный A = C > 60° A B Значит, A + C > 120° B = 180° - ( A + C) <60° Следовательно в ABC B – наименьший. Тогда, согласно соотношению между углами треугольника и его сторонами,AC – наименьшая сторона. Ответ: AC<AB Найти: Что больше AC или AB? ДАЛЕЕ

Решение задач - пример 2. Дано: Найти: Решение: AC = 18 см Ответ: A - острый. Каким является А – острым, прямым или тупым? A B C Так как AB > AC, то C > B То есть С > 50° Тогда B + C > 100° A = 180° - ( B + C) < 80° A - острый 50° AB = 20 см B = 50° ? Содержание

c = 20 (sin 45° / sin 75°) 20 (0,7 / 0,966) 14,6 Решение задач - пример 1. Дано: Найти: Решение: a = 20 см Ответ: 45°; 17,9 см; 14,6 см. γ - ? b - ? c - ? γ = 180° - (β + ) γ = 180° - (75° + 60°) = 45° b = a (sin β / sin γ) с a b β γ b = 20 (sin 60° / sin 75°) 20 (0,866 / 0,966) 17,9 c = a (sin γ / sin ) a / sin = b / sin β = c / sin γ = 75 ° β = 60° ДАЛЕЕ

γ Решение задач - пример 2. Дано: Найти: Решение: Ответ: 28 см; 39°; 11°. cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 11° a = 7 м a b β c - ? β - ? c - ? β =180° - ( + γ) = 180° - (11° + 130°) 39° c = a ² + b ² - 2 a b cos γ c = – (- 0,643) 28 b = 23 м γ = 130° ДАЛЕЕ

Решение задач - пример 3. Дано: Найти: Решение: a = 7 см Ответ: 54°; 13°; 113°. - ? β - ? γ - ? cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 54° γ 180° - ( + β) = 180° - (54° + 13°) = 113° cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2 a c cos β = ( – 4) / ,973 β 13° γ a b β c b = 2 см c = 8 см ДАЛЕЕ

Решение задач - пример 4. Дано: Найти: Решение: a = 12 см Ответ: 8,69 см; 21°; 39°. c - ? β - ? γ - ? a / sin = b / sin β = c / sin γ sin β = (b / a) sin β 1 21° и β 2 159°, так как - тупой, а в треугольнике может быть только один тупой угол, то β 21°. γ 180° - ( + β) = 180° - (120° + 21°) = 39° γ a b β c sin β = (5 / 12) 0,866 0,361 c = 12 (sin 39° / sin 120°) 12 (0,629 / 0,866) 8,69 c = a (sin γ / sin ) b = 5 см = 120 ° СодержаниеНА ВЫХОД!

ОБ АВТОРЕ: Имя: Филиппов Александр Место учебы: лицей 4 Класс: 10 В Адрес: пр. Парковый 3/1 – 258 Тел: выход