Теория Теория множеств в задачах А В С

Учебное пособие Выполнили: Зацаринный Глеб, Моченов Станислав 6 «А» класс Научный руководитель: Москевич Л.В. Г.Дмитров 2006 г.

Множества и математика Множество Пустое (не содержит элементов) Конечное Единичное (один элемент) Неединичное (два и более элементов) Бесконечное

Перечисление A = {x1, x2, …, xn} Запись означает, что конечное множество A состоит из элементов x1, x2, …, xn. Множество M = {2, 3, 4, 5} представляет собой множество экзаменационных оценок. С помощью характеристического свойства M = { x | P(x) } A = { x | x натуральное число} B = { x | (x-1)(x +2)(x- 3) = 0 } означает конечное множество B, содержащее корни уравнения (x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0 C = { x | (x 2) } означает пустое множество C Задание множеств

Задача 1 Записать множество А, элементами которого являются натуральные делители числа 24, используя символические записи характеристического свойства и перечисление элементов множества.

–Множество А задано описанием характеристического свойства "быть натуральным делителем числа 24", поэтому его запись может быть такой: А = {а |24 /a, где а - натуральное число}. – А = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Решение:

Образуйте все подмножества множества К= {p, r, s, t}. Сколько их получилось? Задача 2

Решение: {p},{r},{s},{p,r},{p,s},{p,t},{r,s}, {r,t},{s,t},{p,r,s},{p,r,t},{p,s,t}, {r,s,t}, {p,r,s,t},{Ø}. Множество К содержит всего 16 подмножеств.

Круги Эйлера в математике Рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц ( ). Затем этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер ( ). Он долгие годы работал в Петербуржской Академии наук.. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна ( ). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге "Символическая логика", изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.

Установите отношения между множествами А, В, С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если: А - множество четных натуральных чисел; В - множество натуральных чисел, кратных 10; С - множество натуральных чисел, кратных 5. Задача 3

Решение: А С В А - множество четных натуральных чисел; В - множество натуральных чисел, кратных 10; С - множество натуральных чисел, кратных 5

Задача 4 Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение: Обозначим кругом тех кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий. А Н Ф

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек. Английским Французским Немецким =7 Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части. 8-3=5 5-3=2 По условию задачи всего 100 туристов =80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Задача 5 В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, волейболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят одновременно увлекаются тремя видами спорта? Сколько ребят увлекаются только одним из этих видов спорта?

БФ Х ? 3 1 ) 38-3=35(уч.) – число учащихся, занимающихся спортом. 2) Обозначим число учащихся, занимающихся 3 видами спорта – Х, тогда 16 + (18-(3+Х))+( Х)) = 35, Х+17-5-Х-4 = 35, -2Х=35-39, 2Х= 4, Х=2. 3) 16-3-(4+2)=7(уч.)- занимаются только баскетболом, 4) 18-3-(5+2)=8(уч.)-только футболом, 5) 17-5-(4+2)=6(уч.)-только хоккеем. Проверка: =38

Тесты

Настоящий проект предназначен для учащихся школ, абитуриентов. Проект содержит 5 статей, в которых разобраны задачи теории множеств, проведен отбор задач для самостоятельного решения, а так же создан тест, который поможет проверить качество усвоения данного материала. Проект поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение элементов теории множеств и методов решения задач учащимися школы, а также может быть использован в качестве учебного пособия на уроках. Приводится строгая формулировка понятия, разобраны основные типы задач. Предлагаемый проект служит полезным дополнением к школьным учебникам, к теории и практике решения задач. Заключение

Литература 1. Болтнянский В.Г., Яглом И.М. Школьный математический кружок при МГУ и Московские математические олимпиады. М.: Просвещение, Сорокин П.И. Занимательные задачи по математике с решениями и методическими указаниями. – М., Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. – М., Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач. 5-6 классы. – М., «Русское слово», htm 6. htm 7. html 8.