Геометрия дискриминантов и нерегулярные орбиты групп отражений Веселовский Павел 11 класс XI ГИМНАЗИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ТВОРЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

Постановка задачи f(x) = x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n = 0 f(a 1, a 2, …, a n ) = = x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + … + a n-1 x + a n

Дискриминант D = 0

Квадратное уравнение с двумя параметрами t 2 + a 1 t + a 2 = 0 Пусть { α } – семейство кривых с параметром α, заданных уравнениями (x, y, α) = 0. Тогда кривая G называется огибающей этого семейства кривых, если G в каждой своей точке касается некоторой кривой из { α }. Теорема. Если { t } задано уравнением (x, y, t) = 0, то огибающие этих прямых могут лежать только внутри множества φ = 0, φ/t = 0.

Квадратное уравнение с двумя параметрами y + ux + v = 0 (v = t 2, и = t, a 1 = x, a 2 = y) (a 1, a 2, t) = t 2 + a 1 t + a 2 = 0 t 2 + a 1 t + a 2 = 0 2t + a 1 = 0

Квадратное уравнение с двумя параметрами Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке (x 0, y 0 ) имеет вид y(x)= f (x 0 )(x – x 0 )+ f(x 0 ) y = (x – x 0 )/2 + x 0 2 /4 y = – t(x + 2t) + t 2 y + tx + t 2 = 0 y = (x – x 0 )/2 + x 0 2 /4 - касательная к в точке (– 2t, t 2 )

Дискриминантная поверхность квадратного уравнения t 2 + a 1 t + a 2 = 0 (a 1, a 2 ) выше параболы 0 корней (a 1, a 2 ) на параболе 1 корень (a 1, a 2 ) ниже параболы 2 корня

Кубическое уравнение с двумя параметрами t 3 + a 1 t + a 2 = 0

Кубическое уравнение с двумя параметрами t 3 + a 1 t + a 2 = 0 Полукубическая парабола (a 1, a 2 ) правее параболы 1 корень (a 1, a 2 ) левее параболы 3 корня (a 1, a 2 ) на параболе 2 корня

Общее уравнение с двумя параметрами t m + a 1 t n + a 2 = 0 a 1 = x, a 2 = y

Дискриминантные кривые некоторых уравнений с двумя параметрами t 10 + a 1 t 3 + a 2 = 0 t 9 + a 1 t 3 + a 2 = 0

Произвольное уравнение с тремя параметрами f(t) = t p + xt m + xt n + z = 0, f(t) = 0, f'(t) = 0, f''(t) = 0 t p + a 1 t m + a 2 t n +a 3 = 0

Произвольное уравнение с тремя параметрами t p + a 1 t m + a 2 t n +a 3 = 0

Дискриминантная поверхность уравнения четвёртой степени с тремя параметрами t 4 + xt 3 + yt 2 + z = 0 (z + x 2 /12) 3 – 27(xz/6 – y 2 /16 – x З /216) 2 = 0

Дискриминантная поверхность уравнения четвёртой степени с тремя параметрами «Ласточкин хвост» (z + x 2 /12) 3 – 27(xz/6 – y 2 /16 – x З /216) 2 = 0 t 4 + xt 3 + yt 2 + z = 0

Дискриминантная поверхность уравнения пятой степени с тремя параметрами t 5 + xt 4 + yt 2 + z = 0 – 128x 4 y 2 z x 2 yz x 3 y z 3 – 900xy 3 z + 256x 5 z + 108y 5 = 0

Дискриминантная поверхность уравнения пятой степени с тремя параметрами t 4 + xt 3 + yt 2 + z = 0 – 128x 4 y 2 z x 2 yz x 3 y z 3 – 900xy 3 z + 256x 5 z + 108y 5 = 0 «Пирамида»

Дискриминантные поверхности некоторых уравнений t 25 + a 1 t 14 + a 2 t 6 +a 3 = 0 t 17 + a 1 t 14 + a 2 t 2 +a 3 = 0

Дискриминантные поверхности некоторых уравнений t 19 + a 1 t 15 + a 2 t 3 +a 3 = 0 t 7 + a 1 t 5 + a 2 t 3 +a 3 = 0

Группа отражений AA'A' Гиперплоскость α называется зеркалом Группа отражений – это конечная группа преобразований пространства, порождённая отражениями в некотором (конечном) множестве зеркал.

Группа отражений S 3 Группа преобразований в R 2, порожденную отражениями в трёх зеркалах.

Отображение Виета CnCn z1z1 znzn … CnCn a1a1 anan … x

Группа Галуа S n – группа Галуа общего алгебраического уравнения. Множество нерегулярных орбит произвольной группы S n (дискриминантную поверхность общего алгебраического уравнения) называют обобщенным ласточкиным хвостом. S 3 – полукубическая парабола. S 4 – ласточкин хвост.