МНОГОГРАННИКИ Мастер-класс учителя высшей квалификационной категории МОУ Подгорнская средняя общеобразовательная школа Горкуновой Ольги Михайловны МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ, НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ, КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА. Бертран Рассел «Если ты собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг».

Правильные многогранники ( 5 ) Полуправильные многогранники ( 13 ) Звёздчатые многогранники ( 48 ) Невыпуклые многогранники (52 ) МНОГОГРАННИКИ

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА тетраэдр октаэдр икосаэдр гексаэдр додекаэдр

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА

ЗВЁЗДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ

НЕВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ

ТЕТРАЭДР 1 способ. Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все четыре треугольные грани. 2 способ. Приготовить один трафарет в виде равностороннего треугольника.

ОКТАЭДР 1 способ. Модель октаэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все восемь треугольных грани. 2 способ. Приготовить один трафарет в виде равностороннего треугольника. Склеить четыре треугольника, как показано на рисунке слева (это половина октаэдра).

ИКОСАЭДР 1 СПОСОБ: модель можно строить, исходя из одного и того же начального расположения пяти равносторонних треугольников, как показано на рисунке вверху. Они образуют невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам её основания приклейте следующие пять треугольников, руководствуясь той или иной таблицей раскраски. Между ними вы приклеить по одному треугольнику это сделать несложно, если обратить внимание на то, что в каждой вершине сходятся пять граней. Завершая модель, приклейте последние пять треугольников. 2 СПОСОБ: Модель икосаэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все двадцать треугольных грани.

ГЕКСАЭДР 1 способ. Модель гексаэдра (куба) можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все шесть граней, каждая из которых - квадрат. 2 способ. Приготовить один трафарет в виде квадрата.

ДОДЕКАЭДР 1 способ. Модель додекаэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все двенадцать пятиугольных граней. 2 способ. Приготовить один трафарет в виде правильного пятиугольника. 12

УСЕЧЁННЫЙ ТЕТРАЭДР 1 СПОСОБ: Сначала вы делаете чашу в форме тетраэдра, развёртка которой показана на рисунке слева. Дно чаши будет треугольным, а стенки шестиугольными. При этом соединённые наклейки превратятся в жёсткие ребра по углам чаши, находящиеся внутри неё. Затем вы склеиваете треугольники и шестиугольник между собой (лучше оставить одну треугольную грань напоследок, крепко приклеив её только одной стороной) и закрываете отверстие, как закрывают крышку ящика. 2 СПОСОБ: Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой.

УСЕЧЁННЫЙ ОКТАЭДР Построение модели вы начинаете, окружая один шестиугольник четырёхугольными и шестиугольными гранями, одна за другой, как показано на рисунке справа. Склеив соседние грани, вы получите чашу, образующую ровно половину модели. После этого вам не составит труда подклеить остальные части нужно только проследить за тем, чтобы противоположные грани были одного цвета. В последнюю очередь надо подклеить какой- нибудь квадрат. До тех пор, пока вы его не приклеите, модель будет легко деформироваться. После завершения работы модель окажется весьма жёсткой это характерно для всех выпуклых многогранников. 8 6

УСЕЧЁННЫЙ ГЕКСАЭДР Изготовление этой модели можно начать с того, чтобы окружить один восьмиугольник соседними треугольниками и восьмиугольниками, как показано на рисунке слева. Склеив между собой наклейки соседних восьмиугольников, оставьте треугольные отверстия, которые потом заклейте треугольниками. Как и в предыдущих моделях, хорошенько приклейте одну сторону треугольной грани, а затем закройте отверстие треугольной крышкой. Всё это нетрудно сделать, пока модель не закрыта и имеется доступ внутрь.

УСЕЧЁННЫЙ ИКОСАЭДР Начните с пятиугольника, обклеив его пятью шестиугольниками. Внимательно проследите за каждым новым кольцом шестиугольников, добавляя всякий раз пятиугольник в его центр. Таким способом вы легко подклеите недостающие пять колец шестиугольников. Разумеется, каждый шестиугольник будет входить в три таких кольца. Законченная модель весьма привлекает чередованием разноцветных пяти- и шестиугольных граней.

УСЕЧЁННЫЙ ДОДЕКАЭДР Гранями этого многогранника являются правильные треугольники и десятиугольники. Здесь для десятиугольных граней мы можем воспользоваться четырёхцветной раскраской додекаэдра, сделав все треугольники, например, зелёного цвета. Исходный красный (К) десятиугольник окружите последовательно десятиугольниками следующих цветов: Ж, C, О, C, О, а все треугольные отверстия закройте зелёными (З) треугольниками. Следующие пять десятиугольников будут иметь цвета: К, Ж, К, С, Ж. При этом первый из них (К) надо подклеить к тому оранжевому (О) десятиугольнику, который расположен между двумя синими (С) десятиугольника ми. После того как вы это сделали, приклейте на свои места остальные треугольники.

КУБООКТАЭДР Важнейшим свойством этого многогранника является то, что он имеет грани двух типов, причём каждая грань одного типа соседствует только с гранями другого типа. Многогранники, обладающие этим свойством, называются квази правильными. Подклейте к одному треугольнику три квадрата, как это показано на рисунке слева. Затем с помощью ещё трёх треугольников склейте подобие чаши с треугольным дном и стенками, составленным и из квадратов и треугольников, которые чередуются между собой. По окончании этой работы вы получите половину модели Кубооктаэдр есть пересечение куба К и октаэдра О подходящих размеров (в современной символике КО = КО), расположенных так, что центры К и О совпадают и диагонали октаэдра перпендикулярны граням куба.

ИКОСОДОДЕКАЭДР Икосододекаэдр, подобно кубооктаэдру, являет собой квази правильный комбинированный многогранник. Его также можно рассматривать как общую часть соединения двух тел икосаэдра и додекаэдра. При раскраске икосододекаэдра можно ограничиться пятью цветами: если сделать все треугольные грани зелёными (З), то остальными четырьмя цветами можно раскрасить пятиугольные грани. Вы можете начать работу, подклеив к исходному синему (С) пятиугольнику пять зелёных треугольников. Следующие пять пятиугольников приклеиваются так, чтобы каждый из них двумя соседними гранями соединялся с двумя треугольниками. Цвета для пятиугольников О, К, Ж, К, Ж. Подклеив в промежутки между пятиугольниками недостающие пять треугольников, мы получим ровно половину модели. При этом оставшиеся наклейки будут находиться по сторонам правильного десятиугольника. Продолжая работу, вы будете подклеивать к ним треугольники и пятиугольники в чередующемся порядке. Начните с треугольных граней, подклеив их к свободным сторонам пятиугольников. Затем подклейте оранжевый (О) пятиугольник так, чтобы его вершина совпала с вершиной того жёлтого (Ж) пятиугольника, который находится между двумя красными (К). Порядок раскраски пятиугольников таков: О, С, О, К, С. Последний жёлтый (Ж) пятиугольник добавляется после того, как подклеена часть оставшихся треугольников. Изготовление модели заканчивается как обычно.

РОМБОКУБООКТАЭДР При построении этой модели можно начать со склейки показанных на рисунке частей, которые образуют неглубокую чашу с восьмиугольным верхним краем. К свободным наклейкам подклеиваются квадраты. Например, каждый красный (К) квадрат «экваториального» пояса подклеивается к синему (С) треугольник у, а каждый жёлтый (Ж) квадрат к красному (К) квадрату. После этого легко закончить модель, подклеивая части по отдельности и продолжая чередовать цвета соседних квадратов. В результате получается довольно красивая модель, хотя её гранями являются лишь правильные треугольники и квадраты. Этот многогранник не был известен на протяжении двух тысяч лет, видимо, именно потому, что его нельзя получить при помощи описанной выше процедуры ромбического усечения. Однако его, очевидно, следует включить в список архимедовых (или полуправильных) тел, если характеризовать эти тела не просто как известные Архимеду, а, к примеру, исходить из определения, которое приводит автор (и которое, видимо, давал сам Архимед). Любопытно отметить, что в конце 50-х начале 60-х годов прошлого столетия «брешь» в стройной теории архимедовых тел независимо обнаружили сразу несколько математиков в разных странах. Первым здесь, видимо, был советский учёный В. Г. Ашкинузе (1957); западные же учёные в этой связи чаще ссылаются на публикацию югославского математика С. Билинского от 1960 года.

РОМБОИКОСОДОДЕКАЭДР Эта модель принадлежит к числу наиболее привлекательных среди всех других моделей архимедовых тел. Простейшее и наиболее естественное распределение красок на модели этого многогранника сводится к тому, что каждый из трёх типов граней получает свой цвет. Например, все треугольники жёлтый (Ж), все квадраты синий (С) и все пятиугольники оранжевый (О). Вы можете подряд обклеивать каждый пятиугольник квадратными гранями, каждые две из которых будут связаны промежуточной треугольной гранью.

РОМБОУСЕЧЁННЫЙ КУБООКТАЭДР Приступая к построению модели, вы составляете в чашу исходные заготовки, показанные на рисунке слева. После этого подклеиваете четыре восьмиугольника. Завершить работу не составляет никакого труда.

РОМБОУСЕЧЁННЫЙ ИКОСОДОДЕКАЭДР Для построения модели вам предстоит выполнить уже знакомую последовательность действий: окружите каждый десятиугольник чередующейся последовательностью шестиугольников и квадратов, образующих кольцо. Тем самым любые два десятиугольника будут отделены друг от друга подобным кольцом, причём каждая квадратная грань будет принадлежать в точности двум разным кольцам.

КУРНОСЫЙ КУБ При изготовлении модели части (показанная слева) склеиваются. Склеенные подобным образом три части образуют половину модели. Точно так же выполняется и вторая половина работы, нужно только проследить за тем, чтобы противоположные квадратные грани модели имели одинаковую раскраску

КУРНОСЫЙ ДОДЕКАЭДР Для изготовления модели возьмите все пятиугольники одного цвета, скажем зелёного (З). Заметьте, что каждый из них окружён пятью треугольниками и всем таким треугольникам можно дать один цвет.

ЗВЁЗДЧАТЫЙ ОКТАЭДР У октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. 1 СПОСОБ: Для изготовления модели вам потребуются заготовки лишь одного типа одинаковые равносторонние треугольники. Первые четыре треугольные пирамиды, каждая из которых имеет в основании правильный треугольник подклеиваются друг к другу таким образом, чтобы отсутствующие нижние основания образовывали как бы верхушку октаэдра. При этом грани октаэдра на самом деле будут заменены этими пирамидами. 2СПОСОБ: Его можно получить, надставив на гранях октаэдра правильные треугольные пирамиды.

МАЛЫЙ ЗВЁЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР Этот многогранник одно из тел Кеплера Пуансо. В качестве трафарета вам необходим всего лишь равнобедренный треугольник с углами 72°, 72° и 36°. Такой треугольник образует любой луч пятиконечной звезды пентаграммы. Пять склеенных треугольников образуют часть модели, примыкающую к любой вершине. 1 СПОСОБ: Рекомендуем подклеивать не отдельные треугольники, а сразу же заранее заготовленные пятиугольные пирамиды одна к одной. Назовём такую пирамиду верхушкой. Подклеим к ней пять других пирамид. Получилась половина тела. 2 СПОСОБ: Модель можно получить, надставив на гранях додекаэдра правильные пятиугольные пирамиды

БОЛЬШОЙ ДОДЕКАЭДР Его можно получить, вырезав из граней икосаэдра правильные треугольные пирамиды Этот многогранник составлен из 12 пересекающихся пятиугольных граней. Для этой модели нужен трафарет в виде равнобедренного треугольника с углами 36°, 36° и 108°. Соединим заготовки, чтобы получить 20 треугольных пирамид (вершинами вниз!), а затем склеим пирамиды вместе. Треугольники 5 склеиваем с треугольниками 2 и получаем половину модели. Остальные её части энантиоморфны полученным и расположены на диаметрально противоположных местах

БОЛЬШОЙ ЗВЁЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР Это последняя звёздчатая форма правильного додекаэдра. 1 СПОСОБ: Модель многогранника можно изготовить, подклеивая треугольные пирамиды к граням икосаэдра. 2 СПОСОБ: В качестве заготовок вам потребуются равнобедренные треугольники с углами 36°, 72° и 72° лучи пятиконечной звезды. Их надо склеить между собой так, как показано на рисунке. Первые пять пирамид (1, 2, 3) склеиваются между собой в кольцо таким образом, чтобы внешние рёбра образовали треугольники 1. Их стороны дадут нам пятиугольник. Сюда белыми (Б) треугольниками подклеиваются остальные пирамиды (4, 5, 6). Обратите внимание, что лучи звёзд, лежащих в одной плоскости, одинакового цвета. Остающиеся части энантиоморфны полученным и располагаются на диаметрально противоположных двойникам местах.

Соединение пяти октаэдров Каждую грань этого многогранника образуют два равносторонних треугольника. Для изготовления модели вам предстоит сделать 30 копий показанной заготовки. Прежде всего придайте каждой заготовке вид четырёхугольной пирамиды без ромбического основания она будет служить вершиной одного из октаэдров. Затем возьмите пять разноцветных заготовок и склейте их между собой. В промежутки между выступающими частями вклейте ещё пять таких заготовок. Их следует расположить таким образом, чтобы короткие наклонные рёбра новых заготовок служили продолжениями рёбер во впадинах исходного набора заготовок. Тогда ребро во впадине и короткое наклонное ребро новой заготовки будут лежать на одной прямой ребре одного из октаэдров, образующих соединение.