Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Заполнить таблицу: x + y = 5 x y = 3 x 2 y = 1 4x y = 5 Уравнение x = 5 y x = 3 + y x = 1 + 2y Выражение x через y Выражение y через x y = 5 x y = x 3 y = 4x 5 Повторение

Основные методы решения систем уравнений Метод подстановки Метод алгебраического сложения Графический метод решения систем уравнений

Основные приёмы решения систем уравнений Использование формул сокращённого умножения; теоремы Виета и т. п. Введение новых переменных Почленно сложение, вычитание, деление или умножение уравнений системы

Решить систему уравнений Решение. 1) Из второго уравнения x = 35 5y подставим в первое уравнение: 2) 3(35 5y) + 2y = 27; y + 2y = 27; 13 y = ; 13y= 78; y = 6. 3) y = 6, x = = 5. Ответ: (5; 6) Повторение

Решить систему уравнений Вычтем из первого уравнения второе: 5 x + 33 = 29,5 х +9 = 29,5 х = 20,х = 4. откуда y = 3. Ответ: (4; 3) Повторение Подставим y = 3 в первое уравнение системы:

25 (1). Решить систему уравнений Решение. 1) Из второго уравнения х = 12 у. 2) Подставим х = 12 у в первое уравнение, получим (12 у)² + у² = 74; у + у² + у² = 74; 2 у² 24 у + 70 = 0; у² 12 у + 35 = 0;у 1 = 5; у 2 = 7. 3) Вернёмся к подстановке х = 12 у, тогдах 1 = 7; х 2 =5. Ответ: (7; 5), (5; 7) На примерах некоторых заданий учебника напомним применение метода подстановки и метода алгебраического сложения

25 (2). Решить систему уравнений Решение. 1) Применим формулу разности квадратов 2) Подставим х у = 4 в первое уравнение + 2 х = 12, х = 6. 3) Подставим х = 6 во второе уравнение данной системы: 6 у = 4, у = 2. Ответ: (6; 2)

27 (3). Решить систему уравнений Решение. 1) Из первого уравнения х = 8 у. 2) Подставим х = 8 у во второе уравнение, получим у(8 у) = 15; 8 у у² 15 = 0; у² 8 у + 15 = 0;у 1 = 3; у 2 =5. 3) Вернёмся к подстановке х = 8 у, тогдах 1 = 5; х 2 =3. Ответ: (3; 5), (5; 3)

Решение систем уравнений, взятых из сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе (авт. Л. В. Кузнецова и др.).

2.38(1). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен 0, другие при этом существуют. Ответ: (1; 2), (1; 1), (3,5; 4).

2.39(1). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Из первого уравнения выразим переменную х: по смыслу задания; тогда Решаем второе уравнение, получаем ( у) 0

4 у² 12 у 16 = 0,у² 3 у 4 = 0, у 1 = 1; у 2 = 4. Если у 1 = 1; то х 1 = 8; у 2 = 4; то х 2 = 2. Ответ: (8; 1), ( 2; 4).

2.42(1). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Учтём, что х 0, у 0. Сделаем замену получим систему а = 21, а = 3, тогда 23 + b = 4, b = 2. значит, Ответ: ( ; ½) При этом х 0, у 0.

2.43(2). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Учтём, что х 0, у 0. Преобразуем второе уравнение Решаем второе уравнение, получаем у 1 = 3; у 2 =1, тогда х 1 = 1; х 2 = 3. Ответ: (1; 3), ( 3; 1). При этом х 0, у 0.

2.44(2). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Учтём, что х ± у 0. Сделаем замену получим систему (2) + 42b = 7, тогда Возвращаемся к исходным переменным:

Ответ: ( 5; 1). Данную систему можно решить, не вводя новые переменные, для этого достаточно помножить первое уравнение на 1,5 и почленное сложить первое уравнение со вторым. При этом х ± у 0.

2.46(2). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Введём новые переменные а = х + у, b = x y, получим систему решая способом сложения систему, получим а = 2; b = 8. Оказалось, что откуда х = 4, у = 2 или х = 2, у = 4. Ответ: ( 4; 2), (2; 4).

2.47(2). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Вычтем из второго уравнения первое, получим 2 х² = 32;х² = 16; х 1 = 4; х 2 = 4. х 1 = 4, тогда 4 у 16 = 18, у 1 = ½ ; х 2 = 4, тогда 4 у 16 = 18, у 2 = ½. Ответ: ( 4; ½ ), (4; ½ ).

2.48(1). (4 б) Решить систему уравнений Решение. 1) Применим формулу разности квадратов 2) Подставим х² + у² = 5 во второе уравнение системы + 2 х² = 8; х² = 4;х 1 = 2; х 2 = 2. 3) х 1 = 2, тогда 4 + у² = 5, у² = 1, у 1 = 1; у 2 = 1. х 2 = 2, тогда 4 + у² = 5, у² = 1, у 3 = 1; у 4 = 1. Ответ: ( 2; 1), ( 2; 1), ( 2; 1), (2; 1)

2.49(1). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Применим формулу разности квадратов Подставим х + у = 7 во второе уравнение решим второе уравнение системы ( х у )² = 25, тогда х у = 5 или х у = 5.

х 1 = 1; у 1 = 6. х 2 = 6; у 2 = 1. Ответ: ( 1; 6), (6; 1).

2.50(1). (4 б) Решить систему уравнений Решение. Второе уравнение помножим на 2: Сложим второе уравнение с первым, получим х = 1. Подставим х = 1, например, во второе уравнение исходной системы, получим у = 2. Подставляя х = 1, у = 2 в третье уравнение, получаем 1² + ( 2)² 4. Ответ: исходная система решений не имеет

Графический способ решения систем уравнений

1) Прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку. Тогда система уравнений имеет одно решение. х у 01 1 x – y = 1 x + y = 2 Коэффициенты при неизвестных не пропорциональны 1 : 1 1 : (1) Повторение

х у x + 4y = 8 x + 2y = 2 2) Прямые параллельны, т. е. не имеют общих точек. Тогда система Уравнений не имеет решений. Коэффициенты при неизвестных не пропорциональны свободным членам 2 : 1 = 4 : 2 8 : (2) Повторение

х у x – 2y = 2 3x – 6y = 6 3) Прямые совпадают. Тогда система уравнений имеет бесконечное множество решений. Коэффициенты при неизвестных пропорциональны свободным членам 3 : 1 = 6 : (2) = 6 : 2 Повторение

0 х у 1 1 Решить графически систему Преобразуем уравнения системы: Строим в одной системе координат графики уравнений системы Самостоятельно определите решения системы.