Теорема о медиане треугольника Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

C В A asinAbsinB == csinC a b c Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема синусов Повторение

a2 =a2 =a2 =a2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b 2 + c 2 – 2bc cosA Теорема косинусов b2 =b2 =b2 =b2 = a 2 + c 2 – 2ac cosB Повторение

Косинус угла треугольника Повторение

Теорема о медиане треугольника Квадрат медианы АМ треугольника АВС выражается формулой А С В М Доказательство: (используйте рекомендации) 1). АМ – медиана, тогда СМ = ВМ = 2). Запишите теорему косинусов для стороны АС ΔАВС 3). Выразите cos B из равенства 4). Запишите теорему косинусов для стороны АМ ΔМАВ. 5). Перепишите равенство заменяя ВМ на ВМ ² на и подставляя значение cos B

Теорему о медиане треугольника можно сформулировать так: Квадрат медианы треугольника, проведённой из какой- либо его вершины, равен полусумме квадратов двух его сторон, проведённых из этой же вершины, минус четверть квадрата третьей стороны

ABСD – параллелограмм Доказать: АС² + BD² = АB² + BС² + СD² + АD² D A B C O Следствие к теореме

Рекомендации к решению задачи 836 На стороне ВС ΔАВС отмечена точка D так, что BD:AB = DC:AC. Докажите, отрезок AD – биссектриса ΔАВС А В С D Доказательство: (используйте рекомендации, если затрудняетесь) 1). Введите обозначения углов ΔАВD и ΔАСD c вершиной в точке А: и с вершиной в точке D: 2). Запишите теорему синусов для ΔАВD, используя стороны DB и AB ). Перепишите пропорцию в виде 3). Запишите теорему синусов для ΔАСD, используя стороны DC и AC 4). Перепишите пропорцию в виде

5). Завершите предложение - углы 3 и 4 являются … 6). Воспользуйтесь свойством синусов смежных углов 7). Перепишите пропорцию (**), заменяя 8). Пропорцию BD:AB = DC:AC из условия задачи перепишите в виде 9). Перепишите пропорцию (***), используя шаги 2) и 7) 10). Сделайте заключение об углах 1 и 2 и об отрезке AD