Теорема косинусов. Выполнили : Давыдова Катерина Орешенкова Дарья. - презентация

1 Теорема косинусов. Выполнили : Давыдова Катерина Орешенкова Дарья.

2 Содержание. Теорема косинусов. Дополнительная информация. Доказательство. Следствие. Пользуемся теоремой косинусов в решение треугольников. Вывод.

3 Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4 Дополнительная информация. Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cosA = cos90 = 0 и по формуле (1) получаем а ² = b²+c², т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

5 Доказательство. Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = в. Докажем, например, что а ² = b² + с ² - 2bc cosA. Введем систему координат в точке А. Тогда точка В имеет координаты ( с ; 0), а точка С имеет координаты (b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками получаем : BC²=a²=(b cosA-c)²+b² sin²A=b² cos²A +b²sin²A- 2bc cosA + c²=b²+c²-2bc cos A Теорема доказана.

6 Следствие. Если α – тупой a²=b²+c²+2bc cos α a²> b²+c² Если α – прямой a²= b²+c²+2bc · 0 a²= b²+c² ( теорема Пифагора ) Если α – острый a²=b²+c²-2bc cos α a²< b²+c² Замечание : a²> b²+c² треугольник тупоугольный. a²= b²+c² треугольник прямоугольный a²< b²+c² треугольник остроугольный

7 Пользуемся теоремой косинусов в решении треугольников Дано : а, в, с. Найти : углы А, В, С. 1) По теореме косинусов находим угол А cosA = По таблице Брадиса. 2) По теореме косинусов находим угол В cosB = 3) По теореме углов угол С = ( А + В )

8 Вывод. С помощью этого материала я смогу решать задачи по теореме косинусов.