Работу выполнили: Климова Юля, Жердева Таня, Воронин Ростислав и Жеребин Александр Работу проверила: Москевич Л. В.

Ведь и назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту. (Л.Б. Альберти) Виды симметрии

Определение. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

П римеры геометрических фигур, обладающие осевой симметрией У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный(но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. а равносторонний треугольник - три основные симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Определение. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе.

Пример: На рисунке точки М и М 1, N и N 1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Примеры фигур, обладающие центральной симметрией Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диагоналей.

Задача Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какой игрок выиграет: первый или второй? Как надо играть, чтобы обязательно выиграть?

Решение: Выиграть может любой. Но при правильной игре выигрывает тот, кто начинает, т.е. первый игрок. Вот его стратегия: первым ходом он кладёт монету в центр стола. Затем после каждого хода второго первый кладёт монету симметрично, только что положенной вторым, относительно центра стола Очевидно, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, первый игрок побеждает.

Примеры симметрий: Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.

Симметрия. Бордюр. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве. архитектуре. технике. быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Симметрия. Орнамент.

Симметрия переноса.

Орнаменты и симметрия. Если фигура обладает лишь осевой симметрией и никакой другой, то она создает эффект кажущегося вращательного движения. В орнаментах чаще используются розетки, обладающие не только осевой, но и зеркальной симметрией. Такие формы уравновешенные и спокойные.

Формы уравновешенные и спокойные.

Готический стиль. В средние века возник ГОТИЧЕСКИЙ стиль. Готические здания отличаются обилием ажурных, как кружева, украшений, скульптур, орнаментов, поэтому и снаружи, и внутри они производят впечатление легкости и воздушности. Окна, порталы, своды имеют характерную стрельчатую форму. Фасады сооружений обладали зеркальной (осевой) симметрией.

Ренессанс. Архитекторы Возрождения создали стиль - РЕНЕССАНС, в котором использовали наследие античного искусства, греческие архитектурные ордеры. Правда, они применили их по-новому, более свободно, с отступлением от античных канонов, в других пропорциях и размерах, в сочетании с другими архитектурными элементами. Здания в стиле ренессанс были строгими по форме, с четкими прямыми линиями. Сохраняется симметрия фасадов

Барокко. Отличается обилием криволинейных форм. Грандиозные архитектурные ансамбли (группа зданий, объединенных общим замыслом) дворцов и вилл, построенных в стиле барокко, поражают воображение обилием украшений на фасадах и внутри зданий. Прямые линии почти отсутствуют. Архитектурные формы изгибаются, громоздятся одна на другую и переплетаются со скульптурой. От этого создается впечатление постоянной подвижности форм.

Классицизм. Все здания, построенные в стиле КЛАССИЦИЗМ, имеют четкие прямолинейные формы и симметричные композиции. На фоне гладких стен выступают портики и колоннады, которые придают сооружениям торжественную монументальность и парадность. Декоративное убранство из барельефов и статуй оживляют облик зданий. Мастера классицизма сознательно заимствовали приемы античности и ренессанса, применяли ордеры с античными пропорциями и деталями.

Модерн. Измаиловский пр-кт. Доходный дом сельскохозяйственного товарищества " Помещик" В начале XX века появился стиль МОДЕРН. Этот стиль - попытка освободиться от долгого подражания античности, желание создать новые формы из новых строительных материалов - металла, стекла, бетона, керамики. Поиск новых форм и освоение новых материалов привели к новым видам композиций. Стиль не имеет строгих симметричных конструкций.

Итак, "сфера влияния" симметрии ( а значит, ее антипода - асимметрии) поистине безгранична. Природа- наука- искусство. Всюду мы видим противоборство, а часто и единство двух великих начал - симметрии и асимметрии, которые во многом и определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства.

Для анализа симметрии изображения лучше, наверное, взять картину с более простой композицией. Можно обратиться к хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта».Обратите внимание: фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.

Вот перед нами знаменитая "тайная вечеря" Леонардо да Винчи. Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами: по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе. Вся композиция строго симметрична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей через ее главную точку.

Симметрические уравнения третьей степени. Уравнения вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, а называются симметрическими уравнениями третьей степени, Поскольку ax 3 + bx 2 + bx + a = a(x 3 + 1) + bx(x+ +1) = a(x +1 ) (x 2 - x + 1)+ bx(x +1)= (x + 1)(ax (b - a )x + a), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений x + 1 = 0 и ax 2 + (b -a)x + + a = 0, решить которую не представляет труда.

Решение: Уравнение (2) является симметрическим уравнением третьей степени. Поскольку 3x 3 + 4x 2 + 4x + 3 = 3(x 3 + 1) + 4x(x+ +1) = (x + 1)(3x 2 - 3x x) = (x + 1)(3x 2 + x+ +3), то уравнение (2) равносильно совокупности уравнений x + 1 = 0 и 3x 2 +x+3=0. Решение первого из этих уравнений есть х= -1, второе уравнение решений не имеет. Ответ: х = -1. Решите уравнение: 3x 3 + 4x 2 + 4x + 3 = 0 (2), Ответ: х = -1. Пример:

Симметрические уравнения четвертой степени. Уравнения вида x 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, а называют симметрическими уравнениями четвертой степени.

Решение: Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как x=0 не является его корнем, то, разделив уравнение (6) на x 2, получим равносильное ему уравнение x 2 - 5x /x + = 0. (7) Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение (7) в виде x 2 + – 5(x + ) + 8 = 0 или в виде (x 2 + ) 2 – 5(x + ) + 6 = 0. Положив x + 1/x = y, получим уравнение y 2 – 5y + 6 = 0, имеющее два корня y 1 = 2 и y 2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений х + = 2 и х + = 3. Решение первого уравнения этой совокупности есть x 1 = 1, а решение второго есть x 2 = и x 3 =. Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: x 1, x 2 и x 3. Решите уравнение: x 4 - 5x 3 + 8x 2 - 5x + 1 = 0. (6). Ответ: х 1 =1,x 2 = и x 3 =. Пример:

Возвратные уравнения. Алгебраическое уравнение четвертой степени вида ах 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e=0 (1) при е 0 называется возвратным, если коэффициенты уравнения, а, b, d, е связаны равенствами d= b, е= 2 а (, некоторое отличное от нуля число). Частным случаем возвратного уравнения является симметрическое уравнение (соответствующее =1) ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0. В кососимметрическое уравнение (соответствующее =-1). ax 4 + b х 3 +сх 2 b х+а=0. Используя эту связь между коэффициентами, уравнение (1) можно записать в виде ах 4 + bх 3 + сх 2 + λbх + λ 2 a= 0.(2) Так как х=0 не является корнем уравнения (1), то, разделив почленное обе части уравнения (2) на х 2 и проведя соответствующую группировку членов левой части уравнения, получим уравнение, эквивалентное уравнению (2). a(x 2 + λ 2 /x 2 ) + (b + λ/x) + c = 0

Теперь заменой х+ / x =у (учитывая, что x 2 +λ 2 / x 2 = y 2 -2λ) последнее уравнение сводится к квадратному уравнению относительно у: ау 2 + b у+с 2 a=0 (3) Решая уравнение (3), получаем, что решение возвратного уравнения (2) сводится к решению двух квадратных уравнений: х 2 -у 1 х+ =0, x 2 -y 2 x+ =0 где у 1 и y 2 - корни уравнения (3). Частным случаем возвратного уравнения является симметрическое уравнение (соответствующее =1) ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0. в кососимметрическое уравнение (соответствующее =-1). ax 4 + b х 3 +сх 2 b х+а=0. Заменой х+1/ x = y для симметрического и х –1/ x = y для кососимметрического уравнений эти уравнения вводятся к квадратным уравнениям относительно неизвестной у. Уравнение четвертой степени вида (x 2 +bx+c)(x 2 +bx+d)=k, (4) где b, с, d, k некоторые действительные числа, заменой х 2 + b х = у сводится к следующему квадратному уравнению относительно неизвестной у: у 2 +(с+ d )у- k=0.(5) Если уравнение (5) имеет действительные корни у 1 и y 2, то корни уравнения (4) отыскиваются как корни двух квадратных уравнений с действительными коэффициентами: х 2 + b х – y 1 =0, х 2 + b х – у 2 =0.

Решение уравнения вида х(х+ а)(х+ b )(х+ а+ b ) = с, (6) где a, b, c некоторые действительные числа, может быть сведено к решению двух квадратных уравнений следующим образом. Перемножая первый и четвертый, второй и третий сомножители, получаем уравнение [х 2 +(а+ b )х] [х 2 +(а+ b )х+аb]=с, которое заменой x 2 +(а+b)х=у сводится к квадратному уравнению относительно новой неизвестной у: у 2 +аbу- с =0. (7) Если уравнение (7) имеет действительные корни y 1 и y 2, то множество корней уравнения (6) находится как множество корней следующих двух квадратных уравнений c действительными коэффициентами; x 2 +(а+ b )х-у 1=0, х 2 +(а+ b )х-у 2=0

Симметрия графиков функций О симметрии графиков функций уместно говорить когда функция является четной или нечетной. Вспомним определения: Функция f(x), удовлетворяющая условию f(-x)=-f(x) для всех х из области определения этой функции, называется НЕЧЕТНОЙ

Пример 1: y=1/х;

Пример 2: y=x 3

Пример 3: y=x 2 ;

Пример 4: y=1/x 2

Четная функция Функция f(x), удовлетворяющая условию f(- x)=f(x) для всех х из области определений этой функции, называется ЧЕТНОЙ.

Область определения и четной и нечетной функций симметрична относительно точки х=0. Как же ведут себя графики функций? Как видно из приведенных рисунков, график нечетной функции симметричен относительно начала координат (симметрия относительно точки или центральная), а график четной функции симметричен относительно оси ординат ( симметрия относительно прямой или осевая).Поэтому, для построения графиков четных и нечетных функций достаточно провести исследование свойств функции на половине области определения данной функции. Далее, если функция четная, воспользоваться осевой симметрией, если нечетная - центральной.

Элементарное знакомство с учением о симметрии позволяет глубоко вникнуть в суть важнейших законов физики. Найдем те группы преобразований симметрии, относительно которых законы механики сохраняют неизменной свою форму. Рассмотрим сначала симметрию относительно переноса вдоль любой прямой. Поскольку пространство трехмерно, то оно имеет группу симметрии относительно произвольных переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Время задается одной величиной, а не тремя, как точка в пространстве. Симметрия времени уже, чем симметрия бесконечной прямой, но тем не менее не исключена возможность, что время симметрично по отношению к одному определенному классу законов природы.

Если мысленно изменить направление времени на обратное, то все материальные частицы переменят знак скорости. Но "попятное" движение будет совершаться строго по тем же траекториям, по каким происходило движение вперед. Оставаясь в рамках чистой механики следует признать, что ее законы полностью симметричны относительно прошедшего и будущего. Например, затмения Солнца так же хорошо определяются в прошлом, как и в отдаленном будущем. Давние астрономические явления используются для датировки исторических событий тех лет, когда затмениям приписывалось сильно преувеличенное влияние на нашу земную жизнь.

Отражение в воде - единственный пример горизонтальной симметрии в природе. Быть может, в этом и состоит тайна его очарования?...

Кучерлинское озеро Поверхность озера играет роль зеркала и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии...