Аксиоматический метод построения геометрии Выполнила: Козак Евгения, ученица 11 класса Руководитель: Козак Т.И., учитель математики 1 категории

«Я думаю, что никогда, до настоящего времени, мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Ле Корбюзье

Возникновение геометрии Основные понятия Планиметрия: точка, прямая, расстояние Стереометрия: точка, прямая, плоскость, расстояние Определения Аксиомы Теоремы

Цель: * увидеть стройное аксиоматическое изложение геометрии; * раскрыть роль и значимость аксиом при построении геометрии. И даль свободного романа Я сквозь магический кристалл Ещё не ясно различал. Задачи: * значение геометрии для практической деятельности человека; * отличия между определениями, теоремами и аксиомами; * роль построения геометрических моделей.

Взаимное расположение предметов Форма Размер geometria geо metreo земля измеряю Возникновение геометрии

Абстрактный характер геометрических понятий Тонкая доска или глиняная пластинка имеет длину, ширину, толщину. Лишь отвлекаясь от их толщины, можно считать их моделями геометрической поверхности. Кусок веревки, конечно, тоже тело. Отвлекаясь от размеров её поперечного сечения, можно получить представление о геометрической линии, не имеющей ширины и толщины. Лишь представив себе тело, все размеры которого очень малы, и решившись совсем отвлечься от этих размеров, пришли к понятию геометрической точки.

Логическое строение геометрии АКСИОМЫ Откуда эти слова Аксиома. Древние математики Евклид, Пифагор были греками. Неудивительно, что многие термины этой науки у всех народов Европы греческого происхождения. Первым значением слова «аксиома» было: «то, что достойно почестей». Затем древние геометры стали называть так положения, не нуждающиеся в доказательствах. Это значение сохранили в своей математической терминологии и мы. 1. Перечисляются без определений основные геометрические понятия. 2. При их помощи даются определения всех остальных геометрических понятий. 3. Формулируются аксиомы. 4. На основе аксиом и определений доказываются теоремы. Диагонали прямоугольника равны Квадрат есть прямоугольник Диагонали квадрата равны ТЕОРЕМЫ

Аксиомы – это серьезно всякое утверждение должно быть либо помещено в число аксиом, либо строго доказано на основе аксиом или ранее сформулированных и доказанных теорем; всякое понятие должно быть либо помещено в число основных, либо определено с помощью основных или ранее определённых понятий. Планиметрия planum Стереометрия στερεός

Евклидова геометрия и система аксиом Гильберта система аксиом система аксиом «Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии...» Евклид Давид Гильберт «Точка есть то, что не имеет частей». Н. И. Лобачевский

Моделирование в геометрии Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая, проходящая через каждую из точек А и В. Каковы бы ни были две грани пирамиды (треугольной), существует ребро, проходящее через каждую из этих граней. точка – грань! прямая – ребро! плоскость – вершина! В А Р С

Моделирование в геометрии точка – грань! прямая – ребро! плоскость – вершина! В А Р С Каковы бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек А и В. Каковы бы ни были две различные грани пирамиды, существует не более одного ребра, которое проходит через каждую из этих граней, т. е. принадлежит каждой из них.

Моделирование в геометрии точка – грань! прямая – ребро! плоскость – вершина! На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Каждому ребру пирамиды принадлежит по крайней мере две грани. Существует по крайней мере три грани, не принадлежащие одному ребру. В А Р С

Существует четыре грани пирамиды, не принадлежащие одной вершине (пирамиды) Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Моделирование в геометрии точка – грань! прямая – ребро! плоскость – вершина! В А Р С

Моделирование в геометрии 7. Если две плоскости α и β имеют общую точку А, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку В. точка – вершина прямая – грань плоскость – ребро Если два ребра имеют общую вершину, то они имеют, по крайней мере, ещё одну общую вершину. В А Р С

Непротиворечивость и независимость аксиом Как можно проверить непротиворечивость системы аксиом? Доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной модели, в которой реализуется данная аксиоматика. ТОЧКИ S 1, S 2, S 3, S 4 ПРЯМЫЕ s 12, s 13, s 14, s 23, s 24, s 34 S 1 s 12 S 1 s 13 S 1 s 14

Непротиворечивость и независимость аксиом Каким же образом можно проверить требование независимости? Для доказательства независимости одной аксиомы от множества остальных аксиом также достаточно найти модель множества этих остальных аксиом, в которых бы данная аксиома не выполнялась. АВ С D точки – буквы А, В, С и D. прямые – множества букв: {А, В} и {С, D}.

точки – вершины треугольника Непротиворечивость и независимость аксиом п р я м ы е – е г о с т о р о н ы А ВС

Все вокруг – геометрия «Никогда ещё до настоящего времени, мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистый, истинный, безупречный в наших глазах. Всё вокруг – геометрия». Ле Корбюзье Любая решённая проблема в геометрии порождает ряд новых. Что будет дальше мы не знаем. Быть может, сейчас седой учёный завершает доказательство очередной удивительной теоремы на основе принятых аксиом. А может быть, это будет кто-то из нас. Нам не дано предугадать, Как слово наше отзовётся … Нам не дано предугадать …

Используемая литература 1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия, 10 – 11: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 12-е изд. – М.: Просвещение, – 206 с. 2. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия: Учебник для 7 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, – 351 с. 3. Глейзер Г. И. История математики в школе: VII – VIII классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, – 351 с. 4. Глейзер Г. И. История математики в школе: IX – X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, – 240 с. 5. Гусев В. А., Маслова Г. Г. И др. Геометрия в 8 классе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, – 159 с. 6. Силин А. А., Шмакова Н. А. Открываем неевклидову геометрию. Книга для внеклассного чтения учащихся 9 – 10 классов средней школы. – М.: Просвещение, – 126 с.