Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс

Натуральные числа. Делимость натуральных чисел. Действительные числа и действия над ними.

1. Классификация действительных чисел. Действительные числа R Рациональные числа QИррациональные числа Дробные числа Целые числа Z Обыкновенные дроби Десятичные дроби N0-N

2. Натуральные числа. Делимость натуральных чисел.. Определение. Натуральные числа- числа, используемые при счете предметов: 1, 2, 3, 4, … Теорема. Для любого натурального числа а и натурального числа b существует единственная пара чисел q и r таких, что a=bq+r, где q- натуральное число, r-натуральное число или нуль, причем. Если остаток r=0, то число а делится на число b нацело (без остатка). Пример: Определение. Натуральные числа- числа, используемые при счете предметов: 1, 2, 3, 4, … Теорема. Для любого натурального числа а и натурального числа b существует единственная пара чисел q и r таких, что a=bq+r, где q- натуральное число, r-натуральное число или нуль, причем. Если остаток r=0, то число а делится на число b нацело (без остатка). Пример:

3. Признаки делимости натуральных чисел Натуральное число n делится на натуральное число р, равное 1) 2, если его последняя цифра четная или 0; 2) 5, если его последняя цифра 5 или 0; 3) 10, если его последняя цифра 0; 4) 4 (25), если две его последние цифры нули или образуют число, делящаяся на 4(25); 5) 8 (125), если три его последние цифры нули или образуют число, делящаяся на 8 (125); 6) 3 (9), если сумма всех его цифр делится на 3 (9); 7) 7 (11, 13), если разность между суммой его цифр стоящих на четных местах и суммой цифр, стоящих на нечетных местах делится на 7 (11,13).

3. Признаки делимости натуральных чисел Пример: 1)2: 264; )5: ; )10: )4 (25): 4500; 5316; )8 (125): )2745; 366 7)3872;

4. Взаимно простые числа. Определение. Два числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих натуральных делителей кроме 1. 1) Если число а делится на каждое из двух взаимно простых чисел b и с, то оно делится на их произведение 2) Если произведение аb делится на с, причем а и с взаимно простые числа, то b делится на с:

5. НОК и НОД натуральных чисел. Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) натуральных чисел n1,n2,…nk – наименьшее число n, которое делится нацело на числа n1,n2,…nk. n=НОК(n1,n2,…nk) Определение. Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел n1,n2,…nk – наибольшее число n, на которое делятся нацело числа n1,n2,…nk. n=НОД(n1,n2,…nk) Пример

6. Основная теорема арифметики. Представленное в теореме разложение числа называется каноническим разложением числа n.

7. Делимость суммы и произведения. 1) Если в сумме чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число: =3m. 2) Если два числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число: = 4m. 3) Если в сумме чисел все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число: m. 4) Если в произведении чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число:

8. Свойства, связанные с последовательным расположением натуральных чисел. 1)Одно из n последовательных целых чисел делится на n; 2) Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4; 3) Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6; 4) Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

9. Целые числа. Определение. Целые числа – натуральные числа, числа противоположные натуральным и нуль. Многие свойства делимости целых чисел аналогичны свойствам делимости натуральных чисел.

10. Дробные числа. Определение. Обыкновенная дробь (дробь) – число, представимое в виде, где p- числитель дроби (целое число), q- знаменатель дроби (натуральное число). Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля или разделить на их общий множитель, то получится дробь равная данной. Определение. Положительная дробь правильная, если ее числитель меньше знаменателя, в противном случае – дробь неправильная.

10. Дробные числа. Определение. Несократимая дробь, знаменатель которой содержит только множители 2 и 5, можно записать в виде конечной десятичной дроби. Определение. Несократимая дробь, знаменатель которой содержит другие простые множители кроме 2 и 5, можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. При этом повторяющаяся группа цифр, называется периодом. Определение. Число представимое в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби называется рациональным числом.

11. Иррациональные числа. Пример:Определение. Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.