5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Теорема: Для того чтобы дифференцировать выражение, где и определены и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные и,представляла собой полный дифференциал некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области было выполнено условие.

Интегрирующий множитель.

Если, то уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Однако это уравнение можно превратить в уравнения в полных дифференциалах умножением на подходящую функцию. Такая функция называется интегрирующим множителем для данного дифференциального уравнения.

Практически поступают так: берут выражение, делят на, если не зависит частное от, то находят по формуле, если в противном случае делят на и если частное не зависит от x, то существует и его находят по формуле

6. Дополнительные сведения.

Дифференциальное уравнение может быть также истолковано следующим образом. Пусть - общее решение дифференциального уравнения, т.е. семейство интегрирующих кривых в некоторой области, плоскости, в которой определена функция. Дифференциальное уравнение устанавливает связь между координатами любой точки области и значением производной в этой точке. Зная и точки, можно найти значение производной, т.е. угловой коэффициент касательной к интегрирующей кривой, проходящую через точку.

Рисунок 5. Т.е. дифференциальное уравнение определяет совокупность направлений, или поле направлений в области.Изображая стрелкой направление, можно построить поле направлений дифференциального уравнения. М х у М у х

Геометрически задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, которые в каждой своей точке касаются направления, задаваемым полем.

Теорема (Коши). Если функция определена и непрерывна в области плоскости и имеет непрерывную частную производную во всех точках этой области, то, какова бы ни была точка области, всегда существует и притом единственная, функция, которая определена и непрерывна в некотором интервале, содержащим точку, является решением уравнения и принимает при значение.

7. Уравнение первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, не разрешенное относительно.

Случай 1. Уравнение первого порядка n-й степени, где n- целое положительное число,, - функции от х и у.

Получили :

Общие интегралы имеют вид:

Случай 2. Уравнение разрешенное относительно у и не содержащее х. Это уравнение решается методом введения параметра р. Пусть, тогда.

Случай 3. Уравнение разрешенное относительно х и не содержащее у:. Аналогично:,

Случай 4.. Уравнения не содержащие х и у, но не обязательно разрешенные относительно у и х. (*) (**)

Случай 5. Уравнение Лагранжа. Уравнение, линейно относительно x и y, т.е. имеющее вид

1-й случай. Его общий интеграл имеет вид, вместе с уравнением он дает общий интеграл уравнения Лагранжа.

2-й случай.

Случай 6. Уравнение Клеро