Применение производных Лекция 6

Содержание 1. Теоремы о дифференцируемых функциях. 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. 3. Убывание и возрастание функции. 4. Экстремумы. 5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. 6. Асимптоты. 7. Общая схема исследования функции и построение графика.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма. a c b

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа.

Геометрическая интерпретация Из теоремы Лагранжа вытекает, что найдется точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна секущей, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)). a b f(a) f(b)

Правило Лопиталя Пусть в некоторой окрестности О точки функции дифференцируемы всюду, кроме быть может самой точки и пусть в О.

Правило Лопиталя Если функции являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при и при этом существует предел отношения их производных, то существует и предел отношения самих функций, причем

Примеры. Правило применимо и в случае, когда 1. 2.

Примеры Найдем

Пример Найдем Прологарифмируем это выражение и найдем предел. Тогда

Убывающие и возрастающие функции

Теорема (Признак возрастания функции).

Теорема (Признак убывания функции).

Максимум и минимум функции

Экстремум функции

Необходимое условие экстремума Теорема. Если дифференцируемая функция имеет в точке с экстремум, то ее производная обращается в нуль в этой точке.

Экстремум функции

Продолжение Кроме точек, где, экстремумы могут быть в точках, где производная не существует или равна бесконечности

Критические точки

Теорема (Достаточное условие экстремума).

Найти экстремумы Приравняем производную к нулю: Проверим, меняет ли производная знаки при переходе через эти точки, для чего числовую ось разобьем точками 0 и 4/3 на интервалы (––, 0), (0, 4/3) и (4/3, ) и найдем знаки у' в этих интервалах. В точке х = 0 имеем максимум, а в точке х = 4/3 – минимум. max y = 0,.

Выпуклость и вогнутость кривой y аbcx

Достаточное условие выпуклости

Правило дождя Легко запомнить, что там, где +, имеем вогнутость, а там, где – выпуклость. + --

Точка перегиба

Достаточное условие перегиба кривой

Продолжение y x

Асимптоты При исследовании формы кривой приходится исследовать характер изменения функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой.

Асимптоты кривой y x L. M

Пример Функция у = в точках х = 2, очевидно, имеет бесконечный разрыв, поэтому прямые х = – 2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами кривой у =.

Наклонные асимптоты Наклонные асимптоты задают уравнением у = kх + b, где угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси OY, ищут по формулам: 1) k =, b = ( f (x)– kx ) для правой асимптоты и 2) k =, b = ( f (x)– kx ) для левой асимптоты.

Общая схема исследования функции и построение графика