Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Если матрица содержит строк и столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность. - порядок матрицы

Обозначение матриц

Матрица размера m m называется квадратной. Матрица, имеющая только одну строку называется матрицей-строкой. Матрица, имеющая только один столбец называется матрицей-столбцом.

Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Квадратная матрица вида наз. единичной и обозначается Е

Матрица, все элементы которой равны нулю, наз. нулевой. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, наз. определителем матрицы. Очевидно

Матрица наз. транспонированной по отношению к матрице

Действия над матрицами. Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой равны суммам элементов матриц A и B с одинаковыми индексами.

Произведением матрицы на число называется матрица, получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на.

Разностью двух матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=A+(-B).

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера, элемент которой, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B.

Свойства операций над матрицами 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.(A+B)k=kA+kB

4. (AB)C=A(BC) 5. A(B+C)=AB+AC 6. A+O=A 7. AE=EA=A

Если и две квадратные матрицы одного порядка, то

Обратная матрица

Пусть - квадратная матрица. Обратной для неё матрицей наз. квадратная матрица того же порядка, обозначаемая и удовлетворяющая условию

Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Р а н г м а т р и ц ы Рангом матрицы называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы. Ранг матрицы A обозначается: или.

Теорема о ранге матрицы Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых строк матрицы.

Элементарные преобразования матрицы. 1. Умножение всех элементов строк на одно и то же число не равное Перестановка строк местами. 3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

4. Отбрасывание одной из двух одинаковых строк. 5. Отбрасывание нулевой строки

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований наз. эквивалентными (~).