Разложение в ряд Фурье возможно для функций, удовлетворяющих условию теоремы, сформулированной в предыдущем параграфе. Для четных и нечетный функций разложение в ряд Фурье существенно упрощается.

Пусть функция f(x) определена и является нечетной на отрезке [-П,П]: Найдем коэффициенты разложения:

В первом интеграле делаем замену:

Тогда

Таким образом, нечетная на отрезке [-П,П] функция f(x) будет разлагаться в ряд Фурье следующим образом:

Пусть функция f(x) определена и является четной на отрезке [-П,П]: Найдем коэффициенты разложения:

В первом интеграле делаем замену:

Тогда

Таким образом, четная на отрезке [-П,П] функция f(x) будет разлагаться в ряд Фурье следующим образом:

1 Разложить в ряд Фурье функцию

Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Она является нечетной на отрезке [-П,П], поэтому

Интеграл берем по частям:

Тогда ряд Фурье для данной функции будет иметь вид:

2 Разложить в ряд Фурье функцию

Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Она является четной на отрезке [-П,П], поэтому При n=0:

При n=1, 2, 3…: Интеграл берем по частям:

Оставшийся интеграл снова берем по частям:

Тогда ряд Фурье для данной функции будет иметь вид: