Три признака равенства треугольников Три признака равенства треугольников Завершить

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны Теорема Теорема

что вершина A совместится с вершиной A 1, а стороны AB и AC наложатся соответ-ственно на лучи A 1 B 1 и A 1 C 1. Рассмотрим ABC и A 1 B 1 C 1, у которых AB=A 1 B 1, AC= A 1 C 1, A = A 1. Так как A = A 1, то ABC можно наложить на A 1 B 1 C 1 так, Докажем, что ABC = А 1 B 1 C 1. Поскольку AB=A 1 B 1, AC= A 1 C 1,то сторона AB совместится со стороной A 1 B 1,а сторона AC – со стороной A 1 C 1. Совместятся стороны BC и B 1 C 1. ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, значит, они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Доказательство Доказательство

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ПЕРВЫМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема Теорема

Рассмотрим ABC и A 1 B 1 C 1, у которых AB=A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Докажем, что ABС = A 1 B 1 C 1. Доказательство Доказательство

Наложим ABC на A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона AB – с равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C 1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как, A = A1, B = B 1, то сторона AC наложится на луч A 1 C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Наложим ABC на A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона AB – с равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C 1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как, A = A1, B = B 1, то сторона AC наложится на луч A 1 C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников стороны и двух углов прилежащих к ней), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ВТОРЫМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема Теорема

Рассмотрим ABC и A 1 B 1 C 1, у которых AB=A 1 B 1, AC = A 1 C 1, CB = C 1 B 1. Докажем, что ABС = A 1 B 1 C 1. Доказательство Доказательство Приложим ABC к A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A с вершиной A 1, вершина B 1 – с B 1, а вершины C и C 1 оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1.

Соединим точки В и В 1 Рассмотрим равнобедренные А 1 С 1 С и В 1 С 1 С 1 = 2; 3 = 4 Значит, А 1 СВ 1 = А 1 С 1 В 1 А 1 С 1 С = В 1 С 1 С по двум сторонам и углу между ними

А 1 С 1 B 1 = A 1 B 1 С по двум сторонам и углу между ними

Рассмотрим равно- бедренный С 1 В 1 С CC 1 B 1 = C 1 CB 1 1 = 2 Рассмотрим равно- бедренный С 1 А 1 С Следовательно, 3 = 4 Таким образом, С 1 А 1 В 1 = СА 1 В 1

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников трех сторон), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ТРЕТЬИМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Из третьего признака следует, что треугольник жесткая фигура