Выполнила: Гаврилова И.П., учитель математики МОУ «С(К)ОШИ 3 Магнитогорск, 2007 ТЕОРЕМА ВИЕТА

Историческая справка. Формулировка теоремы. Применение теоремы Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Применение теоремы, обратной теореме Виета. Попробуй! Проверь решение. Следствия из теоремы. Тест Ответы к тесту. Подведем итоги.

. ВИЕТ, Вьет (Viete) Франсуа (1540, Фонтене - ле - Конт, , Париж ), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений ; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2- й, 3- й и 4- й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x 2 в котором равен единице) x 2 + px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: x 1 + x 2 = p, x 1 x 2 = q. В случае не приведенного квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0: x 1 + x 2 = -b / a, x 1 x 2 = c / a.

Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно В. В. Маяковский Зачем же нужна теорема Виета ?. С ее помощью можно: найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его (устно 497); зная один из корней, найти другой (устно 500); определить знаки корней уравнения (устно 499); подобрать корни уравнения, не решая его (устно 501).

Если числа m и n таковы, что m+n=-р, а mn=g, то эти числа являются корнями уравнения х 2 +рх+g=0.

ЗАДАНИЕ: Составить квадратное уравнение, имеющего корни 8 и 7. Решение: 1 способ Составить произведение (х-8)(х-7)=0, откуда получаем уравнение х х+56=0; 2 способ Использовать теорему Виета: Х 2 -(8+7)х+8*7=0, откуда получаем то же уравнение Х х+56=0.

ПОПРОБУЙ! Составьте двумя способами квадратное уравнение, имеющее корни: а) 11 и 4; б)-4 и -5; в)-10 и 2; г)-1 и 15. Составьте двумя способами квадратное уравнение, имеющее данные корни, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты уравнения были целыми числами: а)3 и 1/3; б)1/2 и 2/3; в)-1/3 и 1/4.

ПРОВЕРЬ РЕШЕНИЕ 1 С П О С О Б Задание 1 А ) (х-11)(х-4)=0, Б) (х+4)(х+5)=0, х х+44=0. х 2 +9 х+20=0. В) (х+10)(х-2)=0, Г) (х+1)(х-15)=0, х 2 +8 х-20=0. х х-15=0. Задание 2 А) (х-3)(х-1/3)=0, Б) (х-1/2)(х-2/3)=0, х 2 -10/3 х+1=0, х 2 -7/6 х+1/3=0, 3 х х+3=0. 6 х 2 -7 х+2=0. В) (х+1/3)(х-1/4)=0, х 2 +1/12 х-1/12=0 12 х 2 +х-1=0. 2 С П О С О Б Задание 1 А ) х 2 -(11+4)х+11*4=0, Б) х 2 -(-4-5)х+(-4)(-5)=0 х х+44=0. х 2 +9 х+20=0. В) х 2 -(-10+2)х+(-10)2=0, г) х 2 -(15-1)х+(-1)15=0, х 2 +8 х-20=0. х х-15=0 Задание 2 А) х 2 -(3+1/3)х+3*1/3=0, б) х 2 -(1/2+2/3)х+1/2*2/3=0 х 2 -10/3 х+1=0, х 2 -7/6 х+1/3=0, 3 х х+3=0. 6 х 2 -7 х+2=0. В) х 2 -(-1/3+1/4)х+1/4(-1/3)=0, х 2 +1/12 х-1/12=0, 12 х 2 +х-1=0.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ. Если а + b + с = 0, то один из корней уравнения равен 1. Второй легко найти с помощью теоремы Виета. Если а - b + с = 0, то один из корней квадрат­ного уравнения равен - 1

ВАРИАНТ 1 1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное. Зх х + 6 = 0 (5), х 2 - Зх - 2 = 0 (1), -х х + 1 = 0 (4). 2. Для уравнения 7 х х - 21 =0 приведенным является х х - 3 = 0 (5), -х 2 -2 х + 3 = 0 (6), 7 х x-21 = 0 (7). 3. Сумма корней уравнения х х - 6 = 0 равна - 6 (2), - 5 (3), 5 (4). ВАРИАНТ 2 1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное. 4 х х +1 = 0 (5), х х – 2 = 0 (1), -х 2 - х + 1 = 0 (4)? 2. Для уравнения 8 х х+ 16= 0 приведенным является х 2 - Зх + 2 = 0 (6), -х 2 +3 х - 2 = 0 (5), - 8 х х - 16 = 0 (7). 3. Сумма корней уравнения х х -7 = 0 равна -7 (2), - 8 (0), 8 (4).

4. Произведение корней уравнения х 2 + х - 2 = 0 равно -1 (2), 2 (1), -2 (0). 5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков? х 2 - 0,4 х -1=0 (-), х х + 0,2= 0 (+), х 2 - Зх + 48 = 0 (*) ? 4. Произведение корней уравнения х 2 -2 х - 3 = 0 равно -3 (3), 4 (1), -2 (0). 5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков х х + 15,1 = 0 (-), х 2 -4,1 х + 3,5 = 0 (+), х х - 0,48 = 0 (.) ?

В результате должны получиться годы жизни Франсуа Виета :

Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе К. Вейерштрасс Теорему Виета тебе Я запомнить легко помогу: Сумма корней минус р, Произведение g

Учебник Математика-8.Алгебра.Функции. Анализ данных. Г.В.Дорофеев. Просвещение