Решение задач на окружность (планиметрия на ЕГЭ) Учебное пособие Анжеро-Судженск, 2009 Материал сопровождается эффектами анимации – Word 2007

ЗАДАЧИ. Окружность и её элементы. Окружность вписанная и описанная. 4. Окружность, вписанная в ромб АВСD, касается стороны АВ в точке М, причем АМ : МВ = 2 : 3. Найдите радиус окружности, если площадь ромба равна В ромб АВСD в писана окружность радиуса 12. Она касается стороны ВС в точке Р, причем СР : РВ = 9 : 16. Найдите площадь ромба. 1. Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О и радиусом 4. Найдите площадь треугольника АВС, если угол В равен 40, угол С равен Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в нее окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции г 2 8. Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. известно, что в трапецию можно вписать окружность, а средняя линия делит её на части, площади которых относятся как 5 : 11. Найдите длину большего основания трапеции. 6. Прямоугольная трапеция описана около окружности радиуса 2. Найдите площадь трапеции, если одно из её оснований больше другого основания на 3. (пр. 2009). 7. Около трапеции описана окружность радиуса 7,5. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 2/3, а диагональ образует с меньшим основанием угол, синус которого 0,6. Найдите площадь трапеции. (пр. 2009). 9. На стороне ВА угла АВС, равного 30, взята такая точка Д, что АД = 2 и ВД = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, Д и касающейся прямой ВС. (1 или 7) 2. Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 60. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.

Из точки М к окружности, радиус которой равен 4, проведены касательная, касающаяся окружности в точке С, и секущая, проходящая через центр О окружности и пересекающая её в точках А и В так, что МА = ОА. Точка К – середина дуги АС окружности. Найдите площадь треугольника МОК. (8) О В А / / К ІІ М С S МОК - ? Почему ? Достаточно ли данных, чтобы найти S МОК ? По какой формуле ? Да ! S МОК = ½ ОМ · ОК · sin MOK. S = 8 Почему ? О А В С Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О и радиусом 4. Найдите площадь треугольника ВОС, если угол В равен 40, угол С равен 35. S - ? Для определения площади ВОС надо знать угол ВОС. S ВОС = ½ ОВ ОС · sin ВОС. Углы АСВ и АВС вписанные, то дуги АВ и АС 70 и 80. Дуга как сумма дуг АВ и АС и центральный угол 150. S ВОС = ½ · 4 4 · sin 150, S ВОС = 8 · sin ( ), S ВОС = 8 · cos 60 = 4.

. 4 О М А С В Угол АВС = 30 - вписанный, опирается на дугу АС в 60. Тогда сумма углов АСВ и САВ равна 150 ( в АСВ). М - центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис углов АМС. Тогда в АМС искомый угол АМС равен 105. Угол АОС = 60 - центральный угол (О - центр описанной окружности около АСВ). Тогда и дуга АС содержит 60. Половина суммы углов АСВ и САВ равна 75. (в АМС). 2. Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 60. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС. ? 60

В О М А К 1)Проведём диаметр КР в точку касания, С 2) Отметим точку С. По условию АС:СВ=3:1. Р Имеем: окружность, касательная, диаметр, радиус, хорды, секущая – для решения нужны теоретические знания о них. МК - касательная, связана с данными на секущей МВ. МА = 3 – внешняя часть. Зная АВ, находим АС и СВ (из отношения) АС и СВ дают выход на хорды АВ и КР. Теорема о равенстве произведений длин отрезков, пересекающихся хорд Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть 5 МА = 3 3) Заметим: МВ – секущая, МК² = МВ · МА. КС·СР = АС · СВ, (А) Из точки М к окружности с центром О проведена касательная МК равная 33 и прямая, пересекающая окружность в точках А и В. Причём МА = 3. Диаметр в точку касания делит хорду АВ в точке С, как 3:1 и ОС = 13. Найдите радиус окружности. 3 к 1 к АВ = 8. АС = 3 к, СВ = 1 к. к = 2. АС = 6, СВ = 2. где КС = КО + ОС, СР = ОР - ОС, а КО = ОР = R R = 5 R - ? МА – внешняя часть секущей, КР и АВ - хорды окружности. выход на МВ и АВ Теорема. Какая ?

С В А Д 3. В ромб АВСD вписана окружность радиуса 12. Она касается стороны ВС в точке Р, причем СР:РВ=9:16. Найдите площадь ромба. 6 Р 12 9 к 16 к О АВСД - ромб, его свойства. Окружность вписана в ромб. Окружность касается всех сторон ромба. Стороны равны, диагонали перпендикулярны. Радиус в точку касания. Радиус перпендикулярен касательной. ВОС - прямоугольный Радиус РО – высота ВОС из вершины прямого угла. Высота из вершины прямого угла в прямоугольном. Есть среднее пропорциональное отрезков гипотенузы ОР² = СР · РВ, найдём К ! - КЛЮЧ К РЕШЕНИЮ !!! Далее легко находим СР, РВ и ВС. РТ = 2 ОР (24). S АВСД = ВС · РТ, S = 600. Пусть к приходится на одну часть, то (см. рисунок) Т

5. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в нее окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции. (2009 г) R = а - 4 в - 4 а - 4 в - а а + в = 18 4 СД = (а - 4) + (в – 4), СД = а + в - 8, СД = , СД = 10. По т. Пифагора НД = 6. а + в = 18, в - а = 6. в = 12. С Д А В М N MN = ½ (а + в), 0 Т K Р Н С другой стороны, НД = в – а (см. чертёж), то НСД – прямоугольный, СН = 8, СД = 10. в - а = 6. Пусть основания а – верхнее, в – нижнее - ? Запишем по свойству средней линии трапеции: Касательные из одной точки равны: выразим СД. Чтобы найти в, надо знать а и другие отрезки на в. 2) Выразить СД можно и из условия: У четырёхугольника описанного около окружности равны суммы противоположных сторон: АВ + СД = АД + ВС, 8 + СД = а + в, СД = (а + в) - 8, СД = 10. С построения высоты СН решение то же: НСД прямоугольный. НД = 6. Построим высоту СН. Имеем… 7

Известны синусы двух углов и радиус описанной окружности. А В С Д 7. Около трапеции описана окружность радиуса 7,5. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 2/3, а диагональ образует с меньшим основанием угол, синус которого 0,6. Найдите площадь трапеции. (пр. 2009). (48) О Н АВД и ВСД - также вписаны в эту окружность По следствию из т. СИНУСОВ: ВД : Sin ВАД = 2R, ВД = 2R Sin ВАД, ВД = 15· 2/3, ВД = 10. СД : Sin ДВС = 2R, СД = 2R Sin ДВС, СД = 15· 0.6, СД = 9 = АВ. Проведём высоту трапеции ВН. АВН По определению синуса угла А: Sin А = ВН: АВ, ВН = 2/3 9 = 6. В НВД по т. Пифагора НД = 8. Имеем высоту и нижнее основание трапеции. Нетрудно найти и верхнее основание: НД – АН, а затем и площадь трапеции. Но надо знать АН – по т. Пифагора в АВН. Приём «удачных» дополнительных построений (см. рисунок) Тогда S АВСД равна пощади прямоугольника со сторонами 6 и 8 ( АВН = ДСК), 48. К 8 Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 15, синус угла ВАС равен 1/3, синус угла АВД равен 5/9. (12)

8. Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность, а средняя линия делит её на части, площади которых относятся как 5 : 11. Найдите длину большего основания трапеции. О А В С Д М К S МВСК : S АМКД = 5 : 11 АД - ? 6 10 H Р Приём: пусть на одну часть приходится К, тогда: S МВСК = 5 к, S АМКД = 11 к, С другой стороны, площадь АВСД по формуле: ½ (ВС + АД) · РН = 16 к. Где МК = ½ (ВС + АД). МК – средняя линия ВС + АД = АВ + СД -? Четырёхугольник описан около окружности, то равны суммы противоположных сторон То ½ ·16 · РН = 16 к. Тогда высота РН = 2 к, ОН = к S АМКД = ½ (АД + МК) ОН = 11 к, Для всей трапеции АВСД: S АВСД = 16 к ½ (АД + 8) к = 11 к, ½ (АД + 8) = 11, АД + 8 = 22, (14). 9 Чтобы найти искомое АД, обратимся к трапеции АМКД.

9. На стороне ВА угла АВС, равного 30, взята такая точка Д, что АД = 2 и ВД = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, Д и касающейся прямой ВС. (1 или 7) 10 В А С 30 Е О К Р R R R ДА = 2 ВД = 1 Д ДА - хорда. Диаметр перпендикулярный хорде АД делит её пополам, 1 1 Радиус ОК в точку касания перпендикулярен касательной ВС. Пусть ОК = R. R = ОК ОКЕ прямоугольный угол КЕО 60 где ЕО = ЕР + РО ЕР ВЕР прямоугольный угол 30, ВР = 1 РО ОДР прямоугольный ОД = R, ДР = 1 (по определению синуса ОК = ЕОsin60) (по определению тангенса ЕР = ВР·tg30) (по т. Пифагора) Р – середина (ДР = РА = 1). 60 (2tg30 + R² - 1)·sin60 = R

Вывод ? * Окружности 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ = 16. R = 17 r = 10 (21, 9) А В О М А В О М К К АК = 8 КВ = 8 Задача очень проста! Почему АК = КВ ? или Почему точка К лежит на ОМ ? Вопрос лишь в том: Проведите радиусы ОВ и МВ. Что это даёт ? ДА ! Равнобедренные ВОА и ВМА. Причём с общим основанием АВ. ОК и МК и высоты, и медианы. ОК из ОАК и МАК по т. Пифагора. Но почему же два ответа ? Задача с исследованием ! Сравните чертёж… Решение то же, только МК – ОК. ОМ = 21. АВ = 16 ОМ - ?