8 класс. Векторы. Лукьянова Елена Александровна г. Заволжье, Нижегородская обл.

Некоторые физические величины характеризуются не только своим размером, величиной (большие и маленькие), но и направлением. К таким величинам относится, например, сила. Ты уже знаешь, что если на тело действует какая- то сила, эту силу изображают с помощью стрелочки (клик). Стрелочка говорит о том, что на тело действует сила, направленная вправо- вверх. Предположим, что на тело действует ещё одна сила (клик). По рисунку можно определить, что по своей величине она примерно в 2 раза больше первой силы и направлена вправо-вниз. Величины, имеющие направление, называются векторными. Сила – это векторная величина. Но некоторые физические величины не имеют направления. Примером такой величины является время. Промежуток времени может быть большим или маленьким, но у времени нет направления. Величины, не имеющие направления, называются скалярными (числовыми ). Клик!

Подумай, какие из предложенных тебе величин, будут векторными, а какие скалярными. Сначала мысль, а потом щелчок мыши! скорость Это векторная величина. Она может быть не только большой или маленькой, она имеет направление. масса Масса характеризуется только своей величиной. Она может быть большой, может быть маленькой, но у неё нет направления. Это скалярная величина. напряжение Это скалярная величина. У напряжения нет направления. расстояние (путь) Это скалярная величина. Она говорит о том, сколько, например, километров проехал автомобиль, но не говорит, в каком направлении он двигался. Спидометр машины показывает именно пройденный путь. работа Это скалярная величина, у работы нет направления. вес Это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Обычно это происходит вследствие притяжения к Земле, поэтому вес направлен вниз. Стало быть, это векторная величина.

Итак, что же такое вектор? Вектор – это отрезок. Например, отрезок АВ (щёлк!). А В Но это не просто отрезок. Отрезок не станет вектором до тех пор, пока у него не будет направления (щёлкни и смотри на рисунок). Отрезок, у которого указано направление, называется вектором. Точка А называется началом вектора, точка В называется концом вектора, а сам вектор обозначается так: (щёлкни и смотри на рисунок) При обозначении вектора важно помнить, что первая буква – это начало вектора, вторая буква – конец вектора. Стрелочка над названием вектора всегда слева направо. Если поменяешь местами буквы А и В, получится совсем другой вектор (щёлкни и смотри на рисунок). Векторы также можно обозначать одной маленькой латинской буквой, но обязательно со стрелочкой вверху (щёлкни). А В

Ещё несколько определений. Длиной вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора также называется модулем вектора. Поэтому длина вектора обозначается с помощью значка модуля: (клик). Два вектора называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Коллинеарные векторы мы будем обозначать с помощью значка параллельности: (клик!) Если коллинеарные векторы направлены в одну сторону, они называются сонаправленными, если в противоположные стороны – противоположно направленными. Это обозначается таким образом: (клик). Вектор не коллинеарен никакому вектору.

Если начало и конец вектора совпадают, вектор называется нулевым. Это просто точка. Нулевой вектор обозначается таким образом: (клик). А Ясно, что у нулевого вектора нет никакого направления. Но иногда удобно считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Длина нулевого вектора, естественно, равна нулю. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. (Клик). Например, среди данных векторов равными будут… (подумай, какие векторы равны, а потом щёлкни). Только векторы и Равенство векторов обозначается привычным нам образом: Векторы иравны по длине. Но их нельзя назвать равными, т.к. они не сонаправлены, а противоположно направлены. Такие векторы называются противоположными. Не путать с противоположно направленными! Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Это обозначается естественным образом: (клик).

Задача. (Простая, но очень важная). Дан вектори произвольная точка А. От точки А отложить вектор, равный вектору (Клик!). А Подумай, как выполнить данное построение. При необходимости вернись на предыдущий слайд и вспомни, какие векторы называются равными. Затем кликни. 1. Нужно провести луч с началом в точке А, сонаправленный с вектором. Клик! 2. На этом луче от его начала отложить отрезок АВ, равный длине вектора Клик! В 3. Вектор- искомый вектор, равный вектору Клик! Если два вектора равны, считают, что это не два различных вектора, а один и тот же вектор, просто отложенный от разных точек. То есть вектор и вектор - это один и тот же вектор.

Сложение векторов.

Рассмотрим физическую задачу. Турист из пункта А пришёл в пункт В, а потом из пункта В пришёл в пункт С. Какое перемещение совершил турист? Щёлк! А В С Подумай, а потом кликни. Сначала турист находился в точке А, в конце пути он оказался в точке С. Значит, его перемещение равно вектору Клик! Перемещение – это векторная величина! Получаем равенство: (клик). Обрати внимание: здесь речь идёт о сложении векторов, а не отрезков. Если складывать отрезки, то, конечно, АВ + ВС > AC. Этот пример показывает, как можно сложить два вектора. Если ты подумаешь, то можешь сам получить правило сложения двух векторов. Правильно ты мыслишь или нет – узнаешь на следующем слайде. Клик!

Итак, пусть нам даны векторы и (клик!). Требуется сложить эти векторы (построить вектор, равный сумме векторов и ). Для этого нужно: 1. Отметить на плоскости произвольную точку О. Щёлкни и смотри вниз. О 2. От точки О отложить вектор, равный вектору. Это задача слайда 7. Клик! А В 3. От точки А отложить вектор, равный вектору. Клик! 4. Вектор - искомый, т.е Клик!

Подведём итоги. Чтобы сложить два вектора, нужно… Клик! У меня есть алгоритм сложения двух векторов, состоящий из 3 пунктов. Придумай свой алгоритм и запиши его в тетрадь, а потом щёлкни. Сверим результаты. 1. От произвольной точки плоскости отложить вектор, равный первому вектору. Щёлк! 2. От конца первого вектора отложить вектор, равный второму вектору. Щёлк! 3. Соединить вектором начало первого и конец второго вектора (но не наоборот!). Щёлкни и смотри рисунок. Можно заметить, что при сложении двух векторов получается треугольник, поэтому полученное нами правило сложения двух векторов называется правилом треугольника. Подумай, кстати, всегда ли при сложении векторов по правилу треугольника будет получаться треугольник? Если ответ готов, тогда щёлк!

Увы, не всегда. Если складывать коллинеарные векторы, то треугольника не получится. Однако придуманный нами алгоритм сложения двух векторов работает при любых обстоятельствах! Щёлк! Пусть, например, надо сложить два таких сонаправленных вектора. Попробуй сложить их у себя в тетради, получи результат, а потом щёлкни. Действуй строго по алгоритму! (Если не помнишь, его можно освежить на предыдущем слайде). Противоположно направленные векторы тоже можно складывать по правилу треугольника. Клик! Сначала на листочке, а потом щёлчок!

Небольшой вопросик. Можно ли при сложении векторов менять слагаемые местами так же, как при сложении чисел? Справедлив ли переместительный закон? Щёлк! Нарисуй на листочке примерно такие два вектора и сложи их двумя способами: сначала короткий с длинным, а потом наоборот. (Алгоритм сложения векторов записан у тебя в тетради, или найди его на 11-м слайде). Сравни получившиеся результаты, сделай вывод, а потом щёлкни. Короткий с длинным: Длинный с коротким: Как видим, сумма не зависит от того, в каком порядке складывать векторы (синие векторы равны). Значит справедлив переместительный закон. Сформулируй его для векторов, а потом кликни.

Кстати, справедливы ещё кое-какие законы сложения векторов: (клик). Итак, мы научились складывать 2 вектора. Но на этом разговор о сложении векторов не заканчивается. Дело в том, что, как правило, в физических задачах силы приложены к одному и тому же телу (векторы отложены от одной и той же точки). Клик! Поэтому очень полезно научиться складывать 2 вектора, когда они отложены от одной точки. Для этого поступим следующим образом: на этих векторах построим параллелограмм. Щёлкни и смотри рисунок Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из той точки, откуда были отложены первые два вектора, и будет суммой этих векторов. Клик! Таким образом, мы получили 2-й способ сложения двух векторов (правило параллелограмма). У меня опять есть алгоритм сложения двух векторов по правилу параллелограмма. Он снова состоит из трёх пунктов. Составь в тетради свой алгоритм, а потом мы сверимся. Сначала запиши алгоритм, а потом щёлкни.

Итак, чтобы сложить 2 вектора по правилу параллелограмма, нужно…клик! 1. Отложить из от одной (произвольной) точки. 2. Построить на этих векторах параллелограмм (клик). 3. Провести диагональ параллелограмма, выходящую из точки, от которой были отложены два данных вектора (клик). Правда, может возникнуть вопрос: при сложении векторов по правилу параллелограмма результат будет получаться такой же, как при сложении по правилу треугольника, или другой? Конечно, результат будет такой же, и можно даже понять, почему. Щёлк!

Рассмотрим параллелограмм АВСК с диагональю КВ. Щёлк! А ВС К Если сложить векторы и по правилу параллелограмма, получится вектор… подумай, какой получится вектор, а потом щёлкни. Получится вектор (Смотри рисунок). Если же мы хотим прибавить к вектору вектор по правилу треугольника, мы должны… подумай, что для этого надо сделать, а потом щёлкни. Алгоритм сложения векторов по правилу треугольника находится на 11-м слайде. … от конца вектора (от точки А) отложить вектор, равный вектору Но вектор равен вектору (кликни и смотри рисунок). Дальше, согласно правилу треугольника, нужно соединить начало вектора с концом вектора. В результате снова получится вектор. Тем самым мы доказали то, что результат сложения двух векторов не зависит от того, каким способом их складывать. Подумай, кстати, какое свойство параллелограмма позволило нам это доказать, а затем кликни. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны!

Может возникнуть чисто практический вопрос: как лучше складывать векторы: по правилу треугольника или по правилу параллелограмма? Подумай, а потом кликни. Если векторы уже отложены от одной точки, то, конечно, по правилу параллелограмма. Если нет, то без разницы. Правда есть одно «но». По правилу параллелограмма можно сложить не всякие два вектора. Как ты думаешь, какие 2 вектора нельзя сложить по правилу параллелограмма? Сначала мысль, а потом щелчок. Если два вектора коллинеарны, их нельзя сложить по правилу параллелограмма. Почему, кстати? Подумай и щёлкни. Когда мы отложим их от одной точки, мы не сможем построить на них параллелограмм, т.к. векторы будут лежать на одной прямой. Так что правило треугольника более универсально. Оно применимо всегда, даже когда векторы коллинеарны (см. слайд 12, если не помнишь).

А теперь долгожданный срез!

Дан параллелограмм АВСК с диагоналями АС и ВК, которые пересекаются в точке О. Чему будет равна сумма векторов?… При необходимости скопируй рисунок себе в тетрадь и работай на листке. На мониторе не рисовать! Правильный ответ появляется по щелчку. А К СВ О Здесь мы вектор заменили равным ему вектором (правило треугольника)(правило параллелограмма) А теперь посложнее!

Завершая разговор о сложении векторов, рассмотрим задачу. Турист из пункта А пришёл в пункт В, затем из пункта В направился в пункт С, откуда он пришёл, наконец, в пункт К. Какое перемещение совершил турист? Клик! В А С К Ответь на вопрос задачи, помня, что перемещение – это векторная величина, а потом кликни. Первоначально турист находился в пункте А, в конце концов он прибыл в пункт К, следовательно, его перемещение – это вектор Кликни и смотри на рисунок. Решение данной задачи помогает нам… Подумай, а зачем, собственно, была нужна эта задача, а затем кликни?

Правильно! С помощью этой задачи можно понять, как сложить несколько векторов (щёлк!). Я знаю алгоритм, состоящий из 4 пунктов, позволяющий сложить несколько векторов. Напиши в тетради свой, а потом сверимся. Когда напишешь, щёлкни. 1. От произвольной точки плоскости отложить первый вектор (клик). 2. От конца первого вектора отложить второй вектор (кликни и смотри на рисунок). 3. От конца второго вектора отложить третий вектор, и так далее, пока не закончатся векторы (кликни и смотри на рисунок). 4. Соединить начало первого и конец последнего вектора (кликни и смотри на рисунок). Такой способ сложения векторов называется правилом многоугольника.

Вычитание векторов.

Когда мы от числа 5 отнимаем число 2, мы находим такое число (3), которое бы при сложении с числом 2 дало бы в результате 5. Щёлк! 5 – 2 = 3, потому что = 5. С векторами то же самое. Если мы хотим от вектора отнять вектор, мы должны найти такой вектор, чтобы Итак, пусть нам нужно от вектора отнять вектор (клик). Подумай, каким должен быть вектор, чтобы А потом кликни. Вектор должен соединять конец вектора и конец вектора. Кликни и смотри рисунок. Таким образом, мы получили правило, с помощью которого можно вычитать векторы. У меня есть алгоритм вычитания векторов, состоящий всего из 2 пунктов. Напиши в тетради свой, а потом сверимся. Когда напишешь, щёлкни.

Если нужно из вектора вычесть вектор, мы поступим следующим образом: (щёлк!) 1. Отложим их от одной точки: (клик). 2. Соединим конец вектора (вычитаемого) с концом вектора (уменьшаемого). Кликни и смотри рисунок. Получили, чтоЩёлк! А теперь немного самостоятельности! Щёлк!

В параллелограмме АВСК диагонали пересекаются в точке О (клик). АВ СК О Найди разности следующих векторов: (правильный ответ появляется по щелчку). А теперь посложнее! Здесь нужно вектор заменить равным ему вектором

Между прочим, вычитать векторы можно и другим способом, используя следующее равенство: (клик). Т.е. не вычитать из вектора вектор, а прибавить к вектору вектор, противоположный вектору. Если не помнишь, что такое противоположные векторы, см. слайд 6. Например, пусть нам нужно из вектора вычесть вектор. Клик! Подумай, как мы это сделаем, а потом щёлкни. Если работать по правилу треугольника, то нужно отложить вектор от произвольной точки плоскости… (клик). … а затем от конца вектора отложить вектор, противоположный вектору (кликни и смотри рисунок).

Ну, вот. Теперь ты знаешь почти всё о сложении и вычитании векторов. Ситуация безвыходная. Клик! Нужен срез!

Диагонали параллелограмма АВСК пересекаются в точке О. Клик! А ВС К О (правило треугольника)(правило параллелограмма)(конец вычитаемого соединяем с концом уменьшаемого) Ничему это не равно! На рисунке нет вектора, равного сумме данных двух векторов.

Ну, а самый последний срез ты сделаешь в тетради.

Скопируй себе в тетрадь данные векторы. Щёлк! Построй в тетради следующие векторы: (по правилу треугольника); (по правилу параллелограмма); (желательно двумя способами); Если что-то не помнишь, найди нужный слайд и вспомни. Как сделаешь, сдай тетрадь учителю. Желаю удачи!