Лекция 11 Квазиклассический метод нахождения стационарных состояний Алексей Викторович Гуденко 03/05/2013

План лекции 1. Квантование момента импульса. 2. Квазиклассический метод нахождения стационарных состояний. 3. Гармонический осциллятор. 4. Нулевые колебания и соотношение неопределённостей. 5. Вращательные и колебательные уровни энергии 6. Электрон в кулоновском потенциале.

Операторы физических величин Постулат квантовой теории: Состояние, в котором физическая величина Q имеет определённое значение, описывается ψ- функцией, которое является решением уравнения: Qψ = Qψ, где Q – оператор физической величины Q Пример: p x ψ = p x ψ -iћψ/x = p x ψ ψ = Ce ikx (k = p x /ћ) – плоская волна де-Бройля свободной частицы (координатная часть)

Момент импульса Оператор проекции момента импульса L z = -iћ/φ Уравнение для нахождения собственных значений и собственных функций: L z ψ = L z ψ -iћψ/φ = L z ψ Решение: ψ = ψ 0 exp(iL z φ/ћ) Однозначность: ψ(φ + 2π) = ψ(φ) exp(2πL z /ћ) = 1 L z = mћ, |m| = 0, 1, 2, … Нормировка: ψψ*dφ = 1 ψ 0 = 1/(2π) 1/2 ψ = 1/(2π) 1/2 exp(imp) L z = mћ; m – магнитное квантовое число

Момент импульса = + + Сферическая симметрия: = = L 2 = 3 |L z | L m max = : m = -, -( - 1), …-2, -1, 0, 1, 2, …, - 1, количество значений m равно (2 + 1) штук. = 1/(2 + 1) Σ(ћm) 2 = ћ 2 /(2 + 1) Σm 2 = 1/3 ћ 2 ( + 1) {Σm 2 = 1/6 ( + 1)(2 + 1)} L 2 = ћ 2 ( + 1); - азимутальное квантовое число

Момент импульса L z = mћ; |m| = 0, 1, 2, … – магнитное квантовое число L 2 = ћ 2 ( + 1); = 0, 1, 2, … - азимутальное квантовое число

Квантовый ротатор E r = L 2 /2I = ћ 2 ( + 1)/2I – энергия вращательного движения квантуется. Квант вращательного движения: ΔE = ћ 2 ( + 1)/I (Правило отбора Δ = -1, +1)

Молекула водорода – квантовый ротатор Вращение «размораживается» при температуре kT ~ ΔE ~ ћ 2 /I T ~ ΔE/k ~ ћ 2 /Ik Момент инерции молекулы водорода: I = 2m p (d/2) 2 = m p d 2 /2 ; d ~ 1 A – межъядерное расстояние; m p = 1, г – масса протона. T ~ ћ 2 /Ik = 2ћ 2 / m p d 2 k = 2*(1,05* ) 2 /1,67* (10 -8 ) 2 1,38* ~ 100 K

Теплоёмкость водорода (эксперимент)

Гармонический осциллятор U = ½ mω 2 x 2 Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора: 2 ψ/x 2 + 2m/ћ 2 (E – ½mω 2 x 2 )ψ = 0 E n = ½ mω 2 L n 2 L n = (2E n /mω 2 ) 1/2 λ = h/p = h/(2mE n ) 1/2 L n = nλ/2 (2E n /mω 2 ) 1/2 = nh/2(2mE n ) 1/2 E n = (2π/4) ћωn = C ћωn E n = Cћω n – в квантовом осцилляторе уровни эквидистанты!

Квантовый осциллятор

Принцип соответствия: В пределе больших квантовых чисел «квантовая система» превращается в «классическую». Классический электрон излучает с частотой движения ω кл = ΔE/ћ Δω кл = 1/ћ dE/dn = Cω С = 1

Квантовый осциллятор E n = (n + ½) ћω Энергия нулевых колебаний (n = 0): при n = 0 E 0 – соотношение неопределённостей: ΔpΔx ~ ћ Δp ~ p Δx ~ x p ~ ћ/2x U = ½ mω 2 x 2 ; K = p 2 /2m = ћ 2 /8mx 2 E = U + K U = K x 2 = ћ/2ω 2 m E min = 2U = ½ћω E 0 = ½ ћω – энергия нулевых колебаний Квантовый осциллятор: E n = (n + ½) ћω

Квантовый осциллятор

Квантовый осциллятор и теплоёмкость водорода Характерная энергия колебаний: ω кол ~ ω эл (m e /m p ) 1/2 E кол ~ E эл (m e /m p ) 1/2 ~ 10 эВ/(2000) 1/2 0,2 эВ Колебательные степени свободы «размораживаются» при температуре: T ~ E кол /k = 0,2 1, /1, ~ 2000 K

Энергия колебаний атомов в молекуле

Теплоёмкость водорода (эксперимент)

Кулоновский потенциал U = - e 2 /r Уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле: Δψ + 2m/ћ 2 (E + e 2 /r)ψ = 0 Квазиклассика: |E n | = e 2 /L n L n = e 2 /|E n | условие квантования: L n = nλ/2 e 2 /|E n | = nћ/2(2mE n ) 1/2 E n = Ce 4 m/n 2 ћ 2 Принцип соответствия: ω кл = ω ω = 1/ћ dE/dn = -2Ce 4 m/n 3 ћ 3 = -2E n /nћ ω кл 2 = e 2 /mr 3 = -8E n 3 /me 4 ω кл = ω E n = - me 4 /2n 2 ћ 2 – совпадает с точным решением

Кулоновский потенциал