Сатиев Ахмед Ученик 8 « г » класса Школы 36

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bx + c = 0, где а, b, с – числа, а 0, х – неизвестное. 3 х 2 - 2x + 7 = 0 ; -3,8 х = 0 ; 18 х 2 = 0. Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным. Квадратное уравнение

Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. ах 2 + bx + c = 0, старший второй свободный коэффициент коэффициент член 3 х 2 + 4x - 8 = 0, старший второй свободный коэффициент коэффициент член Коэффициенты квадратного уравнения

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называется неполным. -11 х 2 = 0; 5 х х = 0; -24 х 2 +1 = 0. Неполное квадратное уравнение

Виды неполных квадратных уравнений и их корни 1. ах 2 + c = 0, где с 0. Тогда Если, то корни. а ) б ) - х 2 -4 = 0 х 2 = -4 нет корней. Если, то корней нет.

Виды неполных квадратных уравнений и их корни 2. ах 2 + bx = 0, где b 0. Тогда x (ax +b) = 0. Корни : х 1 =0 и х 2 =. а ) 2 х 2 + 7x = 0x (2x +7) = 0 х = 0 или 2 х + 7 = 0, т. е. х =. Ответ : 0 и -3,5. б ) - х 2 + 5x = 0 -x (x - 5) = 0 х = 0 или х = 5. Ответ : 0 и 5.

3. ах 2 = 0 Имеем единственный корень х = х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0. -3,8 х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0. Виды неполных квадратных уравнений и их корни

Решить уравнение х x + 24 = 0. Решение. х x + 24 = ( х x + 49) – = = ( х + 7) 2 – 25. ( х + 7) 2 – 25 = 0, ( х + 7) 2 = 25. х + 7 = -5 или х + 7 = 5. х 1 = -12; х 2 = -2. Ответ : -12; -2. Метод выделения полного квадрата

Формула корней квадратного уравнения Корни квадратного уравнения ах 2 + bx + c = 0 можно найти по формуле, где D = b 2 – 4ac - дискриминант квадратного уравнения.

Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая : 1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня :,. 2 х 2 + 7x - 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0,,.

Формула корней квадратного уравнения 2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень : х 2 - 4x + 4 = 0. D = (-4) 2 – = 0,.

Формула корней квадратного уравнения 3. D < 0. Тогда уравнение не имеет корней, т. к. не существует. 3 х 2 - x + 7 = 0. D = (-1) 2 – = -83 < 0, значит корней нет.

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Если b = 2k, то корни уравнения ах 2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле, где.

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнение 1. х x + 32 = 0. а = 1 ; b = 18k = b : 2 = 9 ; c = 32. D 1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня :

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнения 2. 3 х 2 + 2x + 1 = 0. а = 3 ; b = 2 k = b : 2 = 1 ; c = 1. D 1 = D : 4 = 1 2 – 1 3 = -2 < 0, значит корней нет х x + 1 = 0. а = 196 ; b = -28k = b : 2 = -14 ; c = 1. D 1 = D : 4 = (-14) 2 – 196 = 0, значит уравнение имеет 1 корень.

Приведенное квадратное уравнение Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х 2 + px + q = 0. х x + 24 = 0. Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент. 5 х 2 + 3x - 2 = 0 х 2 + 0,6x – 0,4 = 0.

Формула корней приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0. х 2 - x - 6 = 0. p = -1, q = -6,

Теорема. Если х 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0, то х 1 + х 2 = - р х 1 х 2 = q х 1 = -1 ; х 2 = 3 – корни уравнения х 2 - 2x - 3 = 0. р = -2, q = -3. х 1 + х 2 = = 2 = - р, х 1 х 2 = -1 3 = q. Теорема Виета формулы Виета

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида Теорема. Если х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения а х 2 + bx + c = 0, то х 1 = 1,5 ; х 2 = 2 – корни уравнения 2 х 2 - 7x + 6 = 0. х 1 + х 2 = 3,5, х 1 х 2 = 3.

Теорема, обратная теореме Виета Теорема. Если числа х 1, х 2, р и q связаны условиями х 1 + х 2 = - р х 1 х 2 = q то х 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0. Составим квадратное уравнение по его корням Искомое уравнение имеет вид х 2 - 4x + 1 = 0.

Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х 2 + bx + c, где а, b, с – числа, а 0, х – переменная. 3 х 2 - 2x + 7 ; Корни квадратного трехчлена а х 2 + bx + c – это корни уравнения а х 2 + bx + c = 0. Квадратный трехчлен

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Теорема. Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена а х 2 + bx + c, то а х 2 + bx + c = а ( х - х 1 )( х - х 2 ). Разложить на множители 12 х 2 - 5x корни уравнения 12 х 2 - 5x – 2= 0. Значит 12 х 2 - 5x – 2 =

Неприводимый многочлен Если квадратный трехчлен ах 2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен ( со старшим коэффициентом 1) называется неприводимым многочленом второй степени ( так как его невозможно разложить на множители меньшей степени ). Квадратный трехчлен 5 х 2 + 3x + 2 не имеет корней. Его невозможно разложить на множители первой степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5 х 2 + 3x + 2 =5( х 2 + 0,6x + 0,4).

Схема решения : 1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить получившееся уравнение. 4. Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе

Общий знаменатель : (t + 1)(t - 2). Умножим на него обе части уравнения : t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1(t + 1)(t – 2) t 2 – 2t – t 2 – 3t – 2 = t 2 – t – 2 t 2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0t 1 = 0, t 2 = -4. Ни одно из чисел не обращает в нуль общий знаменатель. Ответ : 0; -4.

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель : х ( х – 3)( х + 3). Тогда : 2 х – ( х – 3) = (6 – х )( х – 3) х 2 – 8 х + 15 = 0 х 1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х ( х – 3)( х + 3) = 0. х 2 = 5 – корень. Ответ : 5.

Биквадратные уравнения Уравнение вида ах 4 + bx 2 + c = 0, где а 0, b и с - заданные числа, называется биквадратным. 9 х х = 0 Заменой х 2 = t сводится к квадратному уравнению. 9t t - 2 = 0 Ответ :. Нет корней или

Решение уравнений методом замены неизвестного Нет корней Ответ: 43.

Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой. |x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6. а, если а > 0 | а | =- а, если а < 0 0, если а = 0 Модуль -6 О 6 х 66

| х х - 39| = 24. х х - 39 = 24 х х - 39 = -24 х 1 = 9; х 2 = -7 х 3 = -3; х 4 = 5. Ответ : 1,6 ; 1 ; -1 ; 6/11. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

9 х 2 - = 0. x > 0,x < 0, 9 х 2 - = 09 х 2 - = 0. x > 0,x < 0, 9 х 2 – 1 = 09 х = 0. нет решений Ответ :.

Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны. |8 х х + 1| = |3 х х - 7|. 8 х х + 1 = 3 х х – 7 8 х х + 1= –(3 х х – 7) х 1 = 1,6; х 2 = 1 х 3 = -1; х 4 = 6/11. Ответ : 1,6 ; 1 ; -1 ; 6/11. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля