Задания государственного экзамена по математике II Вариант I Часть

1. Упростить выражение и найти его точное значение при и

2) Из 30 учащихся во время урока математики отсутствовало 20% учащихся. Известно что от общего числа сопутствующих были девушки, что составляло 20% от общего количества девушек класса. Сколько юношей присутствовало на уроке математики? Всего 30 уч. - от сосут. дев. – 20% общ. кол-ва дев. 30 0,2 = 6(ч) - отсутствуют 6 = 2 (ч) - сопутствующие девушки 6 – 2 = 4 (ч) – сопутствующие юноши 2 ч. – 20% Х ч. – 100% (ч) – девочек в классе всего 30 – 10 = 20 (ч) - всего в классе юношей 20 – 4 = 16 (ч) – присутствующих юношей

На том же самом уроке к доске вызываются учащиеся. Какова вероятность того, что а) один случайно вызванный учащийся окажется девушкой всего присутствуют -24 чел. 24 – 16 = 8(ч) - девушек 16(ч) - юношей А – вызов девушки к доске n = 24 – всего вариантов k = 8 – благоприятных исходов Р(А) = - вероятность вызова девушки к доске

Какова вероятность того, что б) случайно вызванные двое учащихся окажутся девушкой и юношей I вариантII вариант всего вариантов выбора двух учеников из 24 присутствующих всего вариантов выбора одного юноши и одной девушки В – вызов к доске юноши и девушки Возможные варианты: ЮиД или ДиЮ С – вызов к доске юноши D – вызов к доске девушки

Какова вероятность того, что в) из четырёх случайно вызванных учащихся будет не менее 3 юношей всего вариантов выбора четырёх учеников из 24 присутствующих возможные варианты: 3 ю и 1 д или 4 ю Е – из четверых вызванных учащихся будет не менее 3 юношей

3) Дана функция f(x)=(2x+1)( ) Найдите 1) нули функции

Дана функция f(x)=(2x+1)( ) Найдите 2) область положительности x f(x) -22 IIIIIIIV I x (-; -2) х = -3 (2(-3)+1)(9 -4)= + = II x (-2; - ) х = -1 (2(-1)+1)(1 -4)= = III x ( ; 2) х = 0 (2 0+1)(0 - 4)= + = IV x (2 ;+) х = 3 (2 3+1)(9 -4)= + + = +

Дана функция f(x)=(2x+1)( ) Найдите 3) производную функции I вариантII вариант (uv) =u v + uv

Дана функция f(x)=(2x+1)( ) Найдите 4) Координаты точки минимума функции Найдём критические точки D=4 – 4 6 (-8)= 4+192=196 Определим вид этих точек min (1;-9)

4) Две машины скорой помощи выезжают одновременно из больницы к двум местам происшествий и движутся по шоссе в противоположных направлениях. В первую минуту каждая машина проезжает путь длиной 1 км. В каждую следующую минуту первая машина проезжает путь на 1/12 км, а вторая машина на 1/6 км длиннее, чем за предыдущую минуту. Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и какова скорость (км/ч) машин в этот момент? 1 км 23 км II машинаI машина п = t – время движения

4) Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент? D= = =961 Через 8 мин расстояние между маши- нами будет 23 км

4) Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент? Скорость – это расстояние, проходящее телом за единицу времени Расстояние проходящее за 8-мую минуту движения II машина I машина

5) Три хуторок, L и N расположены у прямолинейного участка шоссе. От каждого хутора прямая дорога ведёт к магазину N. В целях экономии средств местное самоуправление решило закрыть дороги КМ и NМ для движения и сохранить только обслуживание дорог КN и LМ. Известно, что на плане с масштабом 1: длина отрезка КN составляет 62 мм, расстояние КL и LN равны, а также МNК = 53 и NКМ = 25. Определите, на сколько километров увеличится путь до магазина М для жителей хуторов К и N в связи с закрытием дорог. Ответ дайте с точностью до 0,01 км. 31 мм К N M L 62 мм Дано: KLM KN=62 мм КL=LN MNK=53 NKM=25 M=1: Найти: KLM-KM или (KL+LM)-KM KLM- NM (NL+LM)-NM Решение: KL=LN(по условию) 62:2=31(mm) KMN= =102 (как сумма углов треугольника) (по теореме синусов) (по теореме косинусов) KLM=NLM=31+26,059=57,059(mm) KLM-KM=57,059-50,622=6,437(mm) NLM-KM=57,059-26,788=30,271(mm) 6, =193110(mm)=0,190110,19(км) 30, =908130(mm)=0,908130,91(км)

II Вариант II Часть

6) Даны функции f(x) = sin 2x и. 1) Докажите справедливость равенства g(x)= - cos x g(x)= - cos x

6) Даны функции f(x) = sin 2x и. 2) Найдите решение уравнения f(x) = - cosx на промежутке [0;2π] f(x) = - cos x sin 2x = - cos x sin 2x + cos x = 0 2sin x cos x + cos x = 0 cos x (2sin x + 1) = 0 cos x = 02sin x + 1= 0 на промежутке [0;2π] если п = 0 [0;2π] если п = 1 [0;2π] если п = 2 [0;2π] Ответ: 2sin x = - 1 если п = 0 [0;2π] если п = 1 [0;2π] если п = 2 [0;2π] если п = 3 [0;2π]

6) Даны функции f(x) = sin 2x и. 3) В одной системе координат постройте графики функций у = f(x) и у = g(x). Используя данный чертёж, решите неравенство f(x) < g(x) на промежутке [0; 2π]. у= sin 2x х 0π у х у 0 1 π 2π2π у= sin 2x g(x)= - cos x х 0π2π2π у 010 g(x)= - cos x на промежутке [0; 2π]. решите неравенство f(x) < g(x) sin 2x

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD, вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой, заданной уравнением х-у+1 =0 1) Вычислите координаты вершины В, С и D прямоугольника АВСD и постройте прямоугольник АВСD в координатной плоскости. А(-4; 3) В(0; у В ) АВ || СD АВ ВС АВ || СD k AB = k CD СD : х – у + 1 = 0 СD : у = х+ 1 k CD =1 k АВ =1 АВ : k АВ =1 А(-4; 3) если а||в, то k а = k в если а в, то k а k в = -1 у – у 1 = k (х – х 1 ) у – 3 = 1(х + 4) у – 3 = х + 4 х – у + 7 = 0 В АВ 0 - у В + 7 =0 у В = 7 В(0; 7) АВ ВС k AB k ВС =-1 1 k ВС =-1 k ВС =-1 и В(0; 7) у – 7 = -1(х -0) у – 7 = - х ВС : х + у – 7 =0 С ВС х C + y C – 7= 0 С CD х C – y C + 1= 0 х C = 3 y C + 3 – 7 = 0 y C = 4 С(3; 4) АD || BC k AD = k BC k AD = -1 и А(-4; 3) АD : у - 3 = -1(х + 4) у - 3 = -х - 4 х + у + 1 = 0 D AD х D + y D +1= 0 D CD х D – y D + 1= 0 2 х D +2 = 0 х D = -1 2 х C - 6 = y D + 1 = 0 y D = 0 D(-1; 0) x y A B C D

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD, вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой, заданной уравнением х-у+1 =0 2) Cоставьте уравнение прямой, на которой лежит диагональ АС прямоугольника. АС - диагональ А(-4; 3) С(3; 4) х+4=7(у - 3) х+4=7 у у – х – 25 = 0 АС : 7 у – х – 25 = 0 или – х + 7 у – 25 = 0 или

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD, вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой, заданной уравнением х-у+1 =0 3) Вычислите точное значение периметра прямоугольника АВСD. Р = 2 (АВ + ВС) Р = 2 (а + в) А(-4; 3)С(3; 4)В(0; 7) (ед.)

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD, вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой, заданной уравнением х-у+1 =0 4) Составьте уравнение окружности, описанного около прямоугольника АВСD. АВ СD О r (x-x 0 ) 2 +(y – y 0 ) 2 = r 2 В(0; 7)D(-1; 0)

8) Ведётся строительство здания, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, Объём которого равен V м 2. Крыша здания является прямоугольником, одна сторона которого в 2 раза короче другой. Стоимость одного квадратного метра крыши стоит 1250 кроны. Стоимость одного квадратного метра одной из двух больших боковых стен здания равна 1000 крон, а стоимость одного квадратного метра остальных трёх боковых стен равна 2000 кроны. 1) Определите при каких значениях длины, ширины и высота, выраженных через объём здания V, стоимость данных строительных работ будет минимальной? B1B1 А1А1 D СВ А C1C1 D1D1 Дано: АВСD D 1 А 1 B 1 C 1 AB

Решение: пусть АВ = х ВС = 2 х B1B1 А1А1 D СВ А C1C1 D1D1 S крыши = х 2 х = 2 х 2 (м 2 ) Стоим. = 2 х = 2500 х 2 (ее) Стоимость строительства всего здания: Найдём минимальную стоимость строительства всего здания: Найдём критические точки: 5000 х 3 – 5000V = х 3 = 5000V х 3 = Vх 3 = V

2) Вычислите наименьшую стоимость строительных работ, если объём здания 1728 м 3 ? = = (ее)

9) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромбом АВСD, тупой угол АВС которого равен и диагональ АС равна d. Диагональ прямого параллелепипеда DВ 1 составляет с основанием угол. 1) Выразите площади диагональных сечений через углы и и диагональ d A1A1 C1C1 B1B1 D1D1 A B O D C d Дано: АВСD D 1 А 1 B 1 C 1 - прямой параллелепипед АВС = - тупой АС = d B 1 DB = Найти: S BBDD и S AACC Решение: ABCD – ромб АВС = АDC = - как противолежащие углы ромба - как углы ромба АС – биссектриса BCD – как диагональ ромба Рассм. АВС - по теореме синусов АВ = ВС – как стороны ромба Рассм. ВОС – прямоугольный, т.к. диагонали ромба перпендикулярны - по теореме Пифагора СО = АС : 2 (точкой пересечения диагонали делятся пополам)

= ВО BD = 2ВО A1A1 C1C1 B1B1 D1D1 A B O D C d Рассм. ВB 1 D – прямоугольный, т.к. ВB 1 ВD (боковая поверхность основанию) = Н

2) В данный прямой параллелепипед вписана пирамида OB 1 KL, вершины K и L которой являются соответственно серединами рёбер А 1 D 1 и D 1 C 1 прямого параллелепипеда, а точка О является точкой пересечения диагоналей ромба АВСD. Найдите отношение объёмов пирамиды OB 1 KL и прямого параллелепипеда A1A1 C1C1 B1B1 D1D1 A B O D C d K L A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 K L Рассмотрим ромб А 1 D 1 С 1 В 1 А 1 В 1 =В 1 С 1 -как стороны ромба А 1 K 1 =C 1 L- по условию А 1 = С 1 - как противоположные углы ромба

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной 3) Докажите, что C 1 О перпендикулярна ВD. A1A1 C1C1 B1B1 D1D1 A B O D C C 1 С СО, т.к. боковая поверхность основанию CО BD, т.к. диагонали ромба CО BD по теореме о 3-х перпендикулярах