Нахождение фундаментального решения. Подготовила: Колосова Светлана. Принял: Адашев Д.К.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом :, где a ij – коэффициенты, а b i – постоянные.

Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица А = называется матрицей системы

Матрица А = называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b 1, b 2, …,b m = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, т. к. всегда имеет нулевое решение.

К элементарным преобразованиям относятся : 1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2) Перестановка уравнений местами. 3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

- перестановка строк ( перенумерация уравнений ) - перестановка столбцов основной матрицы ( перенумерация неизвестных ); - удаление нулевой строки ( исключение уравнений, тождественно удовлетворяющихся любыми значениями неизвестных ); - умножение строки на ненулевое число ( нормирование уравнений ); - сложение строки с линейной комбинацией остальных строк с записью результата на место исходной строки ( замена одного из уравнений системы следствием ее уравнений, получаемым при помощи линейных операций ).

Решение неоднородной системы уравнений ( равно как и ее ранг ) не изменится также и при использовании любой комбинации элементарных операций.

Теорема : Система совместна ( имеет хотя бы одно решение ) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*.

Ответ : Система несовместна Система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера - Капелли говорит вот о чём : если rangA=rangA˜, то решение есть ; если rangArangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений ( несовместна ). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера - Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ. Следствие из теоремы Кронекера - Капелли Если rangArangA˜, то СЛАУ несовместна ( не имеет решений ). Если rangA=rangA˜<n, то СЛАУ является неопределённой ( имеет бесконечное количество решений ). Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой ( имеет ровно одно решение ). Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.

Пусть дана система уравнений : Составим матрицы : A = В = Х =

Определение Упорядоченный набор чисел называется частным решением системы линейных уравнений, если при подстановке этих чисел в систему мы получаем верные равенства.. Совокупность всех частных решений системы линейных уравнений назовем общим решением системы

Рассмотрим случай, когда система совместна и найдем все ее решения.

Любая линейная комбинация частных решений однородной системы также является ее частным решением. Сумма некоторого частного решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы является частным решением неоднородной системы Разность двух некоторых частных решений неоднородной системы является частным решением однородной системы.

Общее решение неоднородной системы уравнений есть общее решение однородной плюс некоторое частное решение неоднородной

Однородная система имеет линейно независимых частных решений.

Фундаментальной системой решений для системы линейных уравнений называется совокупность любых частных, линейно независимых решений соответствующей однородной системы, где - n число неизвестных в системе.), а - ее основная матрица.

Матрица называется фундаментальной.

Суть этого метода заключается в приведении расширенной матрицы системы линейных уравнений к наиболее простому виду последовательностью так называемых элементарных преобразований, каждое из которых не меняет общего решения системы уравнений.

Приведём расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицы, получим матрицу Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на а её третью строку – с первой строкой, умноженной на Получим матрицу К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на в результате чего получим ступенчатую матрицу Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:

Прямой ход. Поскольку данная система уравнений является однородной, выясним, имеет ли эта система нетривиальные решения. Для этого вычислим определитель основной матрицы системы Вычисляя определитель разложением по строке или по столбцу, получим [A]=0 данная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение. Приведём основную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Сложим вторую и четвёртую строки матрицы с первой строкой, умноженной на (-3) а третью строку – с первой строкой, умноженной на(-4) получим матрицу

В этой матрице удалим нулевые строки и получим ступенчатую матрицу Тем самым, данная система приведена к ступенчатому виду: Неизвестные x1 и x2 стоящие на «ступеньках», являются главными, а неизвестные x3 и x4 свободными. Обратный ход. Выразим из второго уравнения системы главную неизвестную x2 через свободные неизвестные x3 и х 4/х 2=-6 х 3+5 х 4. Используя полученное равенство, из первого уравнения ступенчатой системы получим следующее выражение главной неизвестной х 1/х 2=8 х 3-7 х 4 Общее решение данной системы уравнений запишем в виде: (8 х 3-7 х 4, -6 х 3+5 х 4, х 3,х 4) где х 3 и х 4 любые действительные числа. Положив, к примеру, х 3=-1 и х 4=5 получим частное решение системы: (-43, 31, -1, 5)

поскольку существует свобода выбора как частного решения неоднородной системы, так и линейно независимых решений однородной, то общее решение неоднородной системы может быть записано в различных, но, естественно, равносильных формах.