Пифагоровы пазлы Работу выполнила ученица 8 класса «В» Гимназии 1257 Госткина Анна Научный руководитель: Заесёнок Вера Павловна Москва, 2017

Цель моей работы - создание своеобразной дидактической игры «Пифагоровы пазлы», иллюстрирующей знаменитую теорему Пифагора. Критерии, по которым можно судить о результативности моей работы: - пазлы должны служить наглядным доказательством теоремы Пифагора; - пазлы должны быть удобны и просты в использовании; - пазлы должны эстетично выглядеть и быть аккуратны в исполнении. В процессе работы я решала следующие задачи: собрать и проанализировать материал в печатных и интернет-источниках о Пифагоре и его теореме; выделить геометрические доказательства теоремы Пифагора; на основе выделенных геометрических доказательств составить несколько вариантов геометрических пазлов, иллюстрирующих теорему Пифагора; придумать свой вариант геометрических пазлов.

Пифагор

Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: SABIK=SACED+SBCFG. Доказательство: Пусть ABIK-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACED и BGFC-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CH на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной IK квадрата ABIK в точке J; соединим точки C и K, B и D. Очевидно, что углы CAK=DAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACK и ADB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, между ними).

Сравним далее треугольник ACK и прямоугольник HJKA; они имеют общее основание AK и высоту AH, опущенную на это основание, следовательно SHJKA=2SACK Точно так же квадрат ECAD и треугольник BAD имеют общее основание DA и высоту AC; значит, SECAD=2SDAB. Отсюда и из равенства треугольников ACK и DBA вытекает равновеликость прямоугольника JHBI и квадрата CEDA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника JHAK и квадрата CFGB. А отсюда, следует, что квадрат ABKI равновелик сумме квадратов ACED и BCFG. Ч.т.д.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения получаем Что эквивалентно Сложив, получаем или

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника. 2.Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол 180°. 3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a + b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата. Ч.т.д.

Главные элементы доказательства симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника.

Доказательство опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). SCAA' = b²/2 SCBB' = a²/2 SA'AB'B = (a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому: SA'AB'B = c*DA/2+ c*DB/2 = c (DA+DB)/2 = c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a² + b² = c²

Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями. Sтрапеции = (a+b) ²/2 Sтрапеции = a²b²+c²/2 Приравнивая правые части получим: a² + b² = c²

Итак, создавая «Пифагоровы пазлы», я наглядно представила несколько видов доказательства этой теоремы. Считаю, что моя работа полностью удовлетворяет всем критериям результативности: Пазлы иллюстрируют простейшее доказательство, доказательство Энштейна и доказательство Гутхейля. Пазлы просты и удобны в использовании. Для их создания я использовала металлические пластины в качестве основы и гибкие магниты для деталей. Таким образом детали не падают с основы и не теряются. На основе достаточно места, чтобы в процессе игры некоторые детали отложить в сторону. Я считаю, что мои пазлы получились аккуратными, красочными и эффектными. А самое главное, пазлы вызвали интерес у наших 8-классников.

1. Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, - М: Просвещение 1982 г. 2. И.Я. Демпан, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов, Москва, Просвещение 1989 г. 3. И.Г. Зенкевич «Эстетика урока математики», М.: Просвещение 1981 г. 4. Войтикова Н.В. «Теорема Пифагора» курсовая работа, Анжеро-Судженск, 1999 г. 5. В. Литцман.Теорема Пифагора, М А.В. Волошинов «Пифагор» М Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» М А. Н. Земляков «Геометрия в 10 классе» М В. В. Афанасьев «Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач» Ярославль П. И. Алтынов «Тесты. Геометрия 7 – 9 кл.» М Газета «Математика» 17/ Газета «Математика» 3/ Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В Никитин, А. И. Санкин «Сборник задач по элементарной математики». М Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Пособие по математике». М А. И. Щетников Пифагорейское учение о числе и величине. Новосибирск «Действительные числа. Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. Томск – М.С. Атанасян Геометрия 7-9 класс. М: Просвещение, html