Решение задач С4 Планиметрия Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей. б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2. Решение. a) Найдем периметр О 1 О 2 О 3 (т.е. диаметру большей окружности) r 1 r 3 O2O2 O3O3 O1O1 r2r2 r3r3 r1r1 r 1 r 2 r2+ r3r2+ r3 1

Решение (продолжение). б) Пусть r 1 = 6, r 2 = 2. Тогда O2O2 O3O3 O1O1 r2r2 r3r3 r1r1 M r3r3 Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей. б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2. 1

2 На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры. а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией. б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°. Решение. a) AOQ ~ CON (по двум углам) AO : CO = OQ : ON AOM ~ COP (по двум углам) AO : CO = OM : OP OQ : ON = OM : OP QOM ~ NOP (по углу MOQ = PON = = 120° и двум прилежащим сторонам) OQM = ONP (накрест лежащие) PN QM. б) O А С В D M N P Q 60°

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что BAC + AKC = 90°. а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный. б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника OBKC, если cos BAC= =3/5, а BC = 48. Решение. a) Пусть АВС = х; ВOС = 2 АВС = 2 х (как центральный и вписанный углы с общей дугой ВС); АКС = ОКС = 90° х ВOС – р/б; ОВ = ОС (радиусы) ОВС = ОСВ = (180° – 2 х) : 2 = 90° х ОКС = ОВС (вписанные в окружность с общей дугой ОС) ОВКС – вписанный четырёхугольник. б) O А С В К х По теореме синусов: 3

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны. а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный треугольник. б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a. O А С В Р Q D Решение. 4

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны. а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный треугольник. б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a. Решение (продолжение). O А С В Р H Q 4

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T. а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны. б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3. Решение. a) АDE = СDE = АED (как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей DE) AOT = AOK (по общей гипотенузе и катетам ОТ = ОК = r) AT = AK ATK – р/б ATK = AKT AKT ~ AED (по общему углу А и двум прилежащим сторонам) ATK = = ADE – соответственные KT DE O А С В Р E D T K б) ADE – р/б; AD = AE = 6, АР – высота и медиана DP = EP. Пусть АТ = АК = х, тогда TD = PD = 6 – x, т. к. AKT ~ AED AT : AD = KT : ED, x : 6 = 3 : 2(6 – x) x = 3. Значит, AKT и AED – равносторонние, BAD = 60°. Ответ: 60. 5

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 5 и CD = 15. Решение. a) т.к. AD = R и OD AD (как радиус окр., проведенный в точку касания) ADOE – квадрат САВ = 90° AВС – п/у б) АС = AD + CD = 20; CD = CF = 15 (по свойству вписанной окружности в ABС) Пусть ВЕ = BF = х, тогда по т. Пифагора (5 + х) = (15 + х) 2 х = 10. В п/у АВС sin B = АС : ВС = 20/25 = 0,8 SBEF = ½ BE BF sin B = ½ ,8 = 40. O А С В F D R Е Ответ: 40. 6

Радиусы окружностей с центрами O 1 и O 2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O 1 O 2, если O 1 O 2 = 21. Решение. (1 случай) АО 3 О 1 О 2 (как радиус окружности, проведенный в точку касания) АО 1 О 3 и АО 3 О 2 – п/у. Пусть AO 3 = R и АО 1 = х, тогда АО 2 = 21 – х. Применив т. Пифагора, составим систему уравнений: O2O2 А R х О3О3 O1O1 R – х R Ответ: 8. 7

7 O2O2 А R х О3О3 O1O1 R R Радиусы окружностей с центрами O 1 и O 2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O 1 O 2, если O 1 O 2 = 21. Решение. (2 случай) АО 3 О 1 О 2 (как радиус окружности, проведенный в точку касания) АО 1 О 3 и АО 3 О 2 – п/у. Пусть AO 3 = R и АО 1 = х, тогда АО 2 = 21 + х. Применив т. Пифагора, составим систему уравнений: Ответ: 80.

Угол C треугольника ABC равен 30°, D – отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD : DC = 1 : 6. Найдите синус угла A. O2O2 А С В D O1O1 30° 6 х х Решение. (1 случай) Т.к. точки A, С и D лежат на окружности с центром О 2 и АС – диаметр, то ADC – п/у; аналогично, ADВ – п/у D лежит на ВС. Пусть BD = x, в п/у ADC выразим АС = 2AD через х: В п/у AВD по т. Пифагора: По т. косинусов в АВС: 8

Угол C треугольника ABC равен 30°, D – отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD : DC = 1 : 6. Найдите синус угла A. O2O2 А С В D O1O1 30° 5 х х Решение. (2 случай) Т.к. точки A, С и D лежат на окружности с центром О 2 и АС – диаметр, то ADC – п/у; аналогично, ADВ – п/у D лежит на ВС. В п/у ADC выразим АС = 2AD через х: В п/у AВD по т. Пифагора: По т. косинусов в АВС: 8

В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ = PD = CD = 12, CQ = 4. Найдите CP. Решение. (1 случай) в PQC по т. косинусов: в PDC по т. косинусов: (по свойству четырехугольника, вписанного в окружность). Приравнивая эти выражения, получим уравнение относительно cos PQC: Подставив обратно в любое из выражений, найдем PC: Q С D P O 9

В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ = PD = CD = 12, CQ = 4. Найдите CP. Решение. (2 случай) в PQC по т. косинусов: в PDC по т. косинусов: (по свойству вписанных углов в окружность). Приравнивая эти выражения, получим уравнение относительно cos PQC Подставив обратно в любое из выражений, найдем PC: Q С D P O 9

Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O 1 и O 2 соответственно касаются внешним образом в точке C. AO 1 и BO 2 – параллельные радиусы этих окружностей, причём AO 1 O 2 = 60°. Найдите AB. Решение. (1 случай) Т.к. АО 1 C = 60° и АО 1 ВО 2, то по ВО 2 C = 120° (как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей О 1 О 2 ) В р/с АО 1 С АС = 1; в р/б ВО 2 С найдем по т. косинусов: АCВ = 180° - 60° - 30° = 90° в п/у АВC по т. Пифагора: Ответ: 7. O2O2 С O1O1 А В

Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O 1 и O 2 соответственно касаются внешним образом в точке C. AO 1 и BO 2 – параллельные радиусы этих окружностей, причём AO 1 O 2 = 60°. Найдите AB. Решение. (2 случай) Т.к. АО 1 C = 60° и АО 1 ВО 2, то по ВО 2 C = 60° (как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей О 1 О 2 ) ВCО 2 = АCО 1 = 60° (как вертикальные) ВО 2 С – р/с ВС = 4; в р/с АО 1 С АС = 1; АВ = ВС + АС = = 5 Ответ: 5. O2O2 С O1O1 А В

Решение. (1 случай) Т.к. АВО 1 = 15° и АО 1 В – р/б, то ВАО 1 = 15° = CАО 2 (как вертикальные) АСО 2 = 15° ВО 1 А = CО 2 А = 180° 2 15°= 150° O2O2 С O1O1 А В Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O 1 и O 2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую – в точке C. Найдите площадь треугольника BCO 2, если ABO 1 = 15°. 11

11 Решение. (2 случай) Т.к. АВО 1 = 15° и АО 1 В – р/б, то ВАО 1 = АCО 2 = 15° (как углы р/бАО 2 С ) ВО 1 А = CО 2 А = 180° 2 15°= 150° O2O2 С O1O1 А В

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN. Решение. (1 случай) О 1 А АС и О 2 В АС (как радиусы окружностей, проведенных в точку касания) АСО 1 и ВСО 2 – п/у с углом С = 30° СО 1 = 12, СО 2 = СО 1 – О 1 О 2 = 8. Значит, ВО 2 = 4 = О 1 О 2 О 1 лежит на второй окружности. NO 1 О 2 – р/б, т.к. NO 2 = O 1 О 2 = 4 (радиусы) NO 1 = 6, тогда по формуле Герона: O1O1 С O2O2 N М 6 4 B A 12

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN. Решение. (2 случай) О 2 А АС и О 1 В АС (как радиусы окружностей, проведенных в точку касания) АСО 2 и ВСО 1 – п/у с углом С = 30° СО 1 = 12, СО 2 = СО 1 + О 1 О 2 = 16. АO 2 = NО 2 = 8 (радиусы) NO 1 = 6, тогда по формуле Герона: 6 O2O2 С O1O1 N М 4 B A Ответ: 12

Решить самостоятельно (АНАЛОГИЧНО ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧЕ). Ответ: Окружность радиуса вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.13

Две стороны треугольника равны 8 и 10, косинус угла между ними равен 2/5. В треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол (вершина ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне треугольника). Найдите сторону ромба. 14 Решение. (1 случай) Пусть АВ = 8, АС = 10, примем АМ = АР = х, тогда ВМ = 8 – х; СР = 10 – х; AВС ~ МВК (по двум углам) МК : АС = ВМ : АВ х : 10 = (8 – х) : 8 х = 40/9. B С A К Р М х х 8 – х 10 – х Ответ: 40/9.

Две стороны треугольника равны 8 и 10, косинус угла между ними равен 2/5. В треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол (вершина ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне треугольника). Найдите сторону ромба. 14 С B A К Р М х х 10 – х Решение. (2 случай) Пусть АВ = 8, АС = 10, примем АМ = АР = х, тогда ВМ = 8 – х; СР = 10 – х; cos BAC = 2/5, по т. косинусов AВС ~ МВК (по двум углам) МК : АС = ВК : ВС х : 10 = (10 – х) : 10 х = 5. Ответ: 5.

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 4 и 3. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 32. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри угла. Решение. Пусть ВК = х, АР = у, тогда АС = 4 + у; СВ = 3 + х. ВКМ ~ МРА (по двум углам) ВК : МР = КМ : РА, х : 3 = 4 : у ху = 12. Получим систему: Зная, что По т. Пифагора в п/у АВС: С B A К Р М х у

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 11. Найдите сторону AB. С B A N М O Решение. Пусть АВ = х, АС = у, тогда РАВС = АВ + АС + ВС = х + у + 11; MN = 5,5 (как средняя линия АВС). MNCB – трапеция, в которую вписана окружность MN + BC = MB + CN = ½ (x + y) = 5, = 16,5 х + у = 33; PАВС = = 44. По формуле Герона: Получим систему: Ответ: 13 или

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами. Решение. (1 случай) Пусть обе окружности касаются катетов и продолжений двух других сторон, тогда О 1 О 2 = О 1 С + СО 2 (где О 1 С и СО 2 – диагонали квадратов, построенных на радиусах окружностей в соответствии со свойством радиуса окружности, проведенного в точку касания) 17 A С B O1O1 O2O Ответ:

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами. 17 Решение. (2 случай) Пусть одна из окружностей касается гипотенузы, а другая одного из катетов и продолжений двух других сторон, тогда в п/у МО 1 О 2 по т. Пифагора (где О 2 М = О 2 К + КМ = = 24 – сумма радиусов; О 1 М = МН – О 1 Н = 17 – 7 = 10 – разность радиусов) O2O2 С A B O1O М 7 К РН Ответ: 26.

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK. Решение. (1 случай) MNQ ~ КHQ (по двум углам) МN : KH = NQ : HQ. Пусть KQ = x, тогда QN = 11 – x, в п/у KHQ К H МL N 8 1 Q 4 11 – x x Ответ:

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK. К H Q МL N x Решение. (2 случай) MNQ ~ КHQ (по двум углам) МN : KH = NQ : HQ. Пусть KQ = x, тогда QN = 11 + x, в п/у KHQ Ответ:

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM. 19 Решение. (1 случай) BC = 24, EF = 12, значит СЕ = BF = (24 – 12) : 2 = 6 (как средние линии KLM и NLM) LM = 12; KN = 2(CE + EF) = 2(6 + 12) = 36 (CF – средняя линия KLN) AKN ~ ALM (по двум углам) AL : AK = LM : KN = AM : AN. Пусть AL = x, AM = y, тогда AK = 10 + x, AN = 26 + y. x : (10 + x) = 12 : 36 x = 5; y : (26 + y) = 12 : 36 y = 13. Значит, AKN ~ ALM – п/у. Ответ: 2. М К L N А Е F В C x y

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM. 19 Решение. (2 случай) BC = 24, EF = 12, значит СЕ = BF = (24 – 12) : 2 = 6 (как средние линии KLM и NLM) LM = 12; KN = 2(CE + EF) = 2(6 + 12) = 36 (CF – средняя линия KLN) AKN ~ ALM (по двум углам) AL : AK = LM : KN = AM : AN. Пусть AL = x, AM = y, тогда AK = 10 + x, AN = 26 + y. x : (10 + x) = 12 : 36 x = 5; y : (26 + y) = 12 : 36 y = 13. Значит, AKN ~ ALM – п/у. AL = AK + KL = = 15. N L K M А Е F В C Ответ: 6. x y

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120°. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. 20 Решение. (1 случай) Проведя высоту на основание, получим два равных п/у АВН и АСН, в каждый из которых вписана окружность АН = 2 (против угла в 30°); ВН = H А В C 30°

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120°. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. 20 А r r r r O1O1 O2O2 Р H В C M К Решение. (2 случай) Проведём МО 1 через центры окружностей, МО 1 АВ, т.к. удалены друг от друга на r. Рассмотрим п/у МО 2 К ~ МО 1 Н ~ ВАН (по двум углам). Пусть r – радиус вписанных окружностей, тогда О 2 К = r, О 2 М = 2r MO 1 = 4r, O 1 H = 2r. В п/у АРО 1 РО 1 = r, АО 1 = AH = AO 1 + O 1 H =

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL. Решение. (1 случай) ВАС + KLC = 180° (по свойству трапеции, вписанной в окружность), KLC = 180° ВАС BLK = 180° KLС = ВАС. Аналогично, ВKL = ВСА ВАС ~ ВLK BK : BC = BL : BA = KL : AC BK : 6 = BL : 5 = KL : 7 KL + AC = AK + LC (по свойству трапеции, описанной около окружности). Пусть BK = x, BL = y, тогда АК = 5 – х, BL = 6 – y. 21 А В C K L

Точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF. Решение. (1 случай) AOB = COD = EOF (по свойству правильного шестиугольника) окружности, описанные около этих -ов имеют один и тот же радиус и общую точку пересечения – О. Окружность с центром O, касается внутренним образом окружностей в точках M, N, P, описанных около треугольников AOB,COD и EOF, и имеет радиус, равный диаметрам этих окружностей R = 2r = 28. А В C D E F O M P N

Точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF. Решение. (2 случай) AOB = COD = EOF = O 2 О 3 О 4 Окружность с центром O 1, касается внутренним образом одной окружности в точке M и внешним образом двух других окружностей, описанных около треугольников COD и EOF. Пусть радиус этой окружности – r 1. А В C D E F O M О1О1 O3O3 O4O4 O2O2 К По т. Пифагора в п/у КO 1 О

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 8, AF = 3, угол BAC равен 45°

K N A O B P M В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA. а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что KN = и KMN = 45°. Решение. а) ANK и BKN – п/у, опирающиеся на диаметр KN окружности с центром O (по свойству вписанных в окружность углов), тогда ABK = ANK как вписанные в эту же окружность и опирающиеся на дугу АК. б) ANМ и BKМ – п/у и р/б, т.к. М = 45°, а AN и BK – высоты. APK и BPN – п/у и р/б Обозначим АP = АK = х, ВP = ВN = у, тогда КP =, PN = ; APB ~ KPN (по углам) АР : КР = ВР : РN = = AB : KN= АВ = KN : = 8. в ABM по т. синусов Ответ:

В N O1O1 С М К O2O2 Q Р A Решение. а) по свойству касательных к окружности: BN = BP; CN = CQ; CK = CM; и т.д. CN = CB + BN = CB + BP, CQ = CA + AQ = CA + AP, PABC = CB + BP + CA + AP = CN + CQ; Т.к. CN = CQ = PABC /2. Аналогично, BМ = РABC /2; ВМ = CN. S Окружность ω 1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно; M точка её касания с прямой BC. Окружность ω 2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N точка её касания с прямой BC. a) Докажите, что BM = CN б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω 1 и ω 2, если AC =, AB =, BC = 6.

Окружность ω 1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно; M точка её касания с прямой BC. Окружность ω 2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N точка её касания с прямой BC. a) Докажите, что BM = CN б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω 1 и ω 2, если AC =, AB =, BC = 6. Решение. б) BC 2 = AC 2 + AB 2 = Значит, ABC – п/у, А = 90°. CL = CA + AL = + y; BS = BA + AS = + x Радиус вневписанной окружности: O2O2 А В С O1O1 r2r2 М r1r1 К N P L S r2r2 r1r1 Ответ:

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону ВС прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ : МВ = 1 : 2? А В С D N M K S Q Решение. а) по свойству касательных к окружности: KN = NQ; QM = MS; PAMN = AM + MQ + QN + NA = = AM + MS + KN + AN = AS + AK = ½ AB + ½ AD = AB, где S и К – точки касания окружности с квадратом или середины сторон квадрата.

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону ВС прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ : МВ = 1 : 2? Решение. б) Пусть сторона квадрата = 3 х, AN = y. Тогда AM = x, и MN = PAMN – x – y = = 3x – x – y = 2x – y. Радиус вневписанной окружности OE: Откуда y = 0,75x, DN = 3x – 0,75x = 2,25x. AMN ~ DPN (по углам) АM : DР = AN : DN; x : DP = 0,75x : 2,25x, DP = 3x, EP = 4,5x, CP = 6x. OEP ~ LCP (по углам) OE : CL = EP : CP; 1,5x : CL = 4,5x : 6x, CL = 2x, LB = 3x – 2x = x CL : BL = 2 : 1. А В С D N M Р L О x 2x2x 1,5x E Q

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N. а) Докажите, что КN : NL = 2 : 1. б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 1.27 Решение. а) Продолжим прямые КМ и РL до пересечения в точке Е. Рассмотрим КРЕ, в котором KL, РМ – медианы, по свойству которых KN : NL = PN : NM = 2 : 1. Q N M Р L K E

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N. а) Докажите, что КN : NL = 2 : 1. б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 1.27 Решение. б) Рассмотрим NКR, PLN – п/у. KRN = LNP NKR ~ PLN (по углам) PL : KN = LN : KR; Q N M Р L K R 1 S Ответ:

28 Ответ: 135. С А В E Н К P F М L J Решение. ABF – п/у, р/б FAB = FBA = 45°, Т.к., то AF = FB = 18. APC – п/у, р/б PAC = PCA = 45°, HFC – п/у, р/б CHF = HCF = 45°, Т.к., то CF = HF = 12, AC = 30 ВН = BF – FH = 18 – 12 = 6 BE – медиана ВМ : МЕ = 2 : 1. MJ – высота АМС, MJ = 1/3 BF = 6 KL – высота АКС, KL = 1/2 (MJ + HF) = 9. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. А медианы – в точке M. Точка K – середина отрезка MH. Найдите площадь треугольника AKC, если известно что, угол BAC = 45°.

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 8, AF = 3, угол BAC равен 45°.29 Решение. С F А В E x 8 D Ответ: 45° 3

30 Точка М пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K-середина стороны BC. б) Найдите длину AK, если BC=63. А В С P N К М Решение. а) PN – средняя линия ABС PN BC PAM = PNM (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу). PNB = CBN (как накрест лежащие при параллельных прямых) MBK = BAK, AKB ~ BKM (по двум углам, т.к. К у них общий).

30 Точка М пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K-середина стороны BC. б) Найдите длину AK, если BC = 63. А В С P N К М Решение. AKB ~ BKM КВ : АК = МК : КВ, КВ 2 = МК АК, т.к М – точка пересечения медиан, то АМ = 2КМ, АК = 3КМ, КВ 2 = МК 3МК = 3МК 2 МК = 3, АК = 9. Ответ: 9.