Формулы сложения Тригонометрические формулы

Повторение M 1 (cos α ; sin α ) M 2 (cos (- α ) ; sin (- α ) ) sin(- α ) = ? cos(- α ) = ? tg(- α ) = ? ctg(- α ) = ? sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = ? sin(- α ) = -sin α cos(- α ) = cos α tg(- α ) = sin(- α )/cos(- α ) = = (-sin α )/cos α = -tg α ctg(- α ) = - ctg α sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 x y P (1;0) 0 α - α M2M2 M1M1 cos α sin(- α) sin α

Формулы сложения Формулами сложения называют формулы, выражающие cos( α ± β) и sin( α ± β ) через косинусы и синусы углов α и β. cos( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β cos( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β

Теорема Для любых α и β справедливо равенс - тво cos( α + β ) = cos α cos β – - sin α sin β По определению : M α (cos α ; sin α ) M - β (cos(- β ); sin(- β )) M α + β (cos( α + β ); sin( α + β )) M 0 OM α + β = M - β OM α основания M 0 M α + β = M - β M α равны А значит равны (M - β M α ) 2 и ( M 0 M α + β ) 2, запишем их x y M 0 (1;0) 0 MαMα M-βM-β Mα+βMα+β

Теорема Имеем : M 0 (1; 0) M α (cos α ; sin α ) M - β (cos(- β ); sin(- β )) M α + β (cos( α + β ); sin( α + β )) (M 0 M α + β ) 2 = ( M - β M α ) 2 (1 - cos( α + β ) ) 2 +( sin( α + β ) ) 2 = ( cos(- β ) - cos α ) ( sin(- β ) - sin α ) cos( α + β ) + cos 2 ( α + β ) + sin 2 ( α + β ) = cos 2 β - - 2cos β cos α + cos 2 α + sin 2 β + 2sin β sin α + sin 2 α 2 - 2cos( α + β ) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β cos( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β Теорема доказана.

Следствие 1 cos( α - β ) = ? cos( α - β ) = cos( α + (- β )) = cos α cos(- β ) - sin α sin(- β )= = cos α cos β + sin α sin β cos( π /2 – α ) = sin α sin( π /2 – α ) = cos α cos( π /2 – α ) = cos( π /2) cos α + sin( π /2) sin α = sin α т. е. cos( π /2 – α ) = sin α При α = π /2 – β имеем : cos( π /2 – α ) = cos( π /2 – π /2 + β ) = cos β = sin α = sin( π /2 – β ) т. е. sin( π /2 – β ) = cos β

Вывод формул Синус разности Косинус разности

Следствие 1 sin( α + β ) = cos ( π /2 - ( α + β )) = cos(( π /2 - α ) - β ) = = cos( π /2 - α ) cos β + sin( π /2 - α ) sin β = = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β ) = sin( α + (- β ))= sin α cos(- β ) + cos α sin(- β )= = sin α cos β - cos α sin β Таким образом, sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β

Следствие 2 Можно вывести аналогичные формулы для tg( α ± β ) и ctg( α ± β ). tg( α ± β ) = sin( α ± β ) / cos( α ± β ) = =(sin α cos β ±cos α sin β )/(cos α cos β sin α sin β )= = ( tg α ± tg β ) / (1 tg α tg β ) Аналогично ctg( α ± β ) = (c tg α ctg β 1 ) / ( ctg β ± c tg α )