МАТРИЦЫ Ельшина А.О. ФИСМО, социология, 1 курс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Матрицей Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид: Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В. В общем виде матрицу размером m×n записывают так: элементами матрицы Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

прямоугольной Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья. Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец. строкой столбцом Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом. нулевой Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. ВИДЫ МАТРИЦ

Главной диагональю Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол. треугольной Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей. диагональной Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. / единичной Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij. Так если и, то A=B, если a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 и a 22 = b 22. Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если, то.

транспонированной транспонированием Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием. Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A T. Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде. Например. Например. Найти матрицу транспонированную данной

Сложение матриц. одинаковые размеры Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например, или Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или. Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Умножение матриц. Произведением Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:. Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij ) размера m×n на матрицу B = (b ij ) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения. Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат. Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу– столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,.

Примеры. 1. Пусть Найти элементы c 12, c 23 и c 21 матрицы C. 2. Найти произведение матриц нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.

5. Пусть Найти АВ и ВА. 6. Найти АВ и ВА., B·A – не имеет смысла. Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочный друг с другом, т.е. AB BA. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей. Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC. Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.