Площади фигур Авторы: Фёдорова Н.В. Чердынцева М.Е. Чердынцева М.Е.

Содержание Навигация по презентации Навигация по презентации Навигация по презентации Навигация по презентации Исторический материал Исторический материал Исторический материал Исторический материал Простые фигуры Простые фигуры Простые фигуры Простые фигуры Понятие площади Понятие площади Понятие площади Понятие площади Треугольники Треугольники Треугольники Квадрат и прямоугольник Квадрат и прямоугольник Квадрат и прямоугольник Квадрат и прямоугольник Параллелограмм и ромб Параллелограмм и ромб Параллелограмм и ромб Параллелограмм и ромб Трапеция Трапеция Трапеция Круг и эллипс Круг и эллипс Круг и эллипс Круг и эллипс Задачи Задачи Задачи Высказывания древних Высказывания древних Высказывания древних Высказывания древних

Навигация по презентации Эта фигура поможет Вам в том, чтобы в нужное время оказаться в содержании. Стрелки будут направлять Вас в продвижении по презентации Книга поможет обратиться к историческому материалу по данной теме.

Вычисление площадей в древности Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4-5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны равные стороны равные и прямые углы равные и прямые углы симметричность и общее совершенство формы симметричность и общее совершенство формы квадраты легко строить. квадраты легко строить. Ими можно заполнить плоскость без пробелов, хотя в Древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции. 1 1 Г. И. Глейзер «История математики в школе VII – VIII классы» Москва, «Просвещение» 1982 год, стр.27

Простые фигуры Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Плоским треугольником называется конечная часть плоскости, ограниченную треугольником. ПримеромПримером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник. Он разбивается на плоские треугольники диагоналями, проведенными из какой- нибудь его вершины. Примером На понятие площади На понятие площади

Пример простой фигуры Эта фигура является простой. Её можно разбить на конечное число плоских треугольников, при помощи диагоналей.

Понятие площади Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: простых фигурпростых фигур Равные фигуры имеют равные площади. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Понятие площади Равные фигуры имеют равные площади S1S1 S2S2 S3S3 S S=S 1 +S 2 +S 3 + = S>0 1 1 S=1

Треугольник Треугольник – многоугольник с тремя сторонами. ; где p=(a+b+c)/2

Равнобедренный и равносторонний треугольники Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две его стороны равны. Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две его стороны равны. Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны. В таком треугольнике все углы по 60 градусов. Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны. В таком треугольнике все углы по 60 градусов.

Квадрат и прямоугольник Квадрат – равносторонний прямоугольник; Квадрат является правильным многоугольником. Квадрат – равносторонний прямоугольник; Квадрат является правильным многоугольником. Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые. Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые.

Параллелограмм и ромб Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны. Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны. Ромб – параллелограмм, у которого выполняется одно из условий: 1) все стороны равны 2) диагонали взаимоперпендикулярн ы 3) диагонали делят углы параллелограмма пополам Ромб – параллелограмм, у которого выполняется одно из условий: 1) все стороны равны 2) диагонали взаимоперпендикулярн ы 3) диагонали делят углы параллелограмма пополам Наличие одного из этих свойств вызывает как следствие два других. Наличие одного из этих свойств вызывает как следствие два других.

Трапеция Трапеция – выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельные.Трапеция – выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельные.

Круг и эллипс Круг – часть плоскости, лежащая внутри окружности. Круг – часть плоскости, лежащая внутри окружности. Эллипс – коническое сечение, когда секущая плоскость пересекает лишь одну полость кругового конуса и не параллельна ни одной из его образующих. Эллипс – коническое сечение, когда секущая плоскость пересекает лишь одну полость кругового конуса и не параллельна ни одной из его образующих.

Задачи ЗЗЗЗ аааа дддд аааа чччч ииии н н н н аааа п п п п оооо вввв тттт оооо рррр ееее нннн ииии ееее ПППП оооо пппп рррр оооо бббб уууу йййй тттт ееее р р р р ееее шшшш ииии тттт ьььь с с с с аааа мммм ииии !!!!

Задачи на повторение Площадь квадрата и прямоугольника Площадь квадрата и прямоугольника Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма Площадь треугольника Площадь треугольника Площадь трапеции Площадь трапеции Задачи

Площадь квадрата и прямоугольника Задача 1. Задача 1. Найти площадь квадрата, сторона которого равна: 1) 13 см; 2) 5,5 м; 3) n дм. 1) 13 см; 2) 5,5 м; 3) n дм. Задача 2. Задача 2. Найти сторону квадрата, если его площадь равна: 1) 169 мм²; 2) n² см² 1) 169 мм²; 2) n² см² Задача 3. Задача 3. Найти площадь прямоугольника стороны которого равны: 1) 14 см и 5 см; 2) 9,9 мм и 15 мм 1) 14 см и 5 см; 2) 9,9 мм и 15 мм Задача 4. Задача 4. Одна из сторон прямоугольника равна 16 см, а его площадь – 272 см². Найти другую сторону прямоугольника. Задачи на повторение

Задача 1 Мы знаем формулу площади квадрата: S=a², где сторона а равна стороне квадрата, тогда: 1) 13 · 13 = 169 см²; 2) 5,5 · 5,5 = 30,25 м²; 3) n · n = n² дм². Ответ: 169 см ²; 30,25² м; n дм².

Задача 2 Так как площадь квадрата равна: S = a², То сторону можно выразить как = =|a| = a, то: 1) = 13 мм; 2) = n см. Ответ: 13 мм; n см.

Задача 3 Мы знаем формулу площади прямоугольника: S = abS = ab, S = abтогда: 1) 14 · 15 = 210 см²; 2) 9,9 · 15 = 148,5 мм². Ответ: 210 см²; 148,5 мм².

Задача 4 Мы знаем формулу площади прямоугольника: S = abS = ab, S = ab Тогда мы может выразить а: a = S/b. 1) 272 : 16 = 17 см. Ответ: 17 см.

Площадь параллелограмма Задача 1. Задача 1. Найти площадь параллелограмма, сторона которого равна 14 см, а высота, проведенная к ней, - 8 см. Задача 2. Задача 2. Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны 10 и 14 см, а угол между ними – 45°. Задачи на повторение

Задача 1 Площадь параллелограмма по формуле равна S = a · h aS = a · h a, S = a · h aтогда: 1) 14 · 8 = 112 см² Ответ: площадь параллелограмма равна 112 см²

Задача 2 Мы знаем формулу площади параллелограмма: S = ab · sinαS = ab · sinα, S = ab · sinαтогда: 1) 10 · 14 · 2/2 = Ответ: площадь параллелограмма равна 70 2.

Площадь треугольника Задача 1. Задача 1. Сторона треугольника равна 11 см, а высота, проведенная к ней, - 3,5 см. Найти площадь треугольника. Задача 2. Задача 2. Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 10 см, а угол между ними равен 30°. Задача 3. Задача 3. Найти площадь треугольника, стороны которого равны 26 см, 28 см и 30 см. Задачи на повторение

Задача 1 Мы знаем формулу площади треугольника через сторону и высоту проведенную к ней: S = ½ ah a S = ½ ah a, S = ½ ah aтогда: 1) ½ · 11 · 3,5 = 19,25 см² Ответ: площадь треугольника равна 19,25 см².

Задача 2 Мы знаем формулу площади треугольника через синус угла: S = ½ ab · sinαS = ½ ab · sinα, S = ½ ab · sinαтогда: 1) 6 · 10 · ½ = 30 см² Ответ: площадь треугольника равна 30 см².

Задача 3 Сначала нужно найти полупериметр: А теперь, по формуле Герона, мы можем найти площадь треугольника: формуле Геронаформуле Герона 336 см² - площадь данного треугольника Ответ: площадь треугольника равна 336 см².

Площадь трапеции Задача 1. Задача 1. Найти площадь трапеции, основания которой равны 14 и 17 см, а высота – 6 см. Задача 2. Задача 2. Площадь трапеции равна 168 см², одно из ее оснований – 15 см, а высота 9 см. Найти второе основание трапеции. Задачи на повторение

Задача 1 Мы знаем формулу площади трапеции: S= ½ (a+b) · h S= ½ (a+b) · h, S= ½ (a+b) · h тогда: 1) = 31 см 2) 31 : 2 = 15,5 см 3) 15,5 · 6 = 93 см² Ответ: площадь трапеции равна 93 см².

Задача 2 Из формулы площади трапеции можно вывести формулу для одного из оснований: h · (a+b) = 2S a = 2S : h - b тогда: 1) 2 · 168 : 9 – 15 = 336 : 9 – 15 = = = 22 1) 2 · 168 : 9 – 15 = 336 : 9 – 15 = = = см – длина другого основания трапеции Ответ: длина стороны равна 22 см.

Попробуйте решить сами! Возможно, после изучения такого количества материала у Вас появилось желание решить несколько задач древних математиков. Итак: Задача Архимеда Задача Архимеда Задача ал-Караджи Задача ал-Караджи

Задача Архимеда «Площадь круга, описанного около квадрата, вдвое больше площади вписанного в квадрат круга. Доказать!» Историческая справка Историческая справка Проверь себя! 1 Г.И. Глейзер «История математики в школе VII-VIII классы» Москва «Просвещение» 1982 год стр

Архимед Величайшим математиком древнего мира был Архимед (287 – 212 до н. э.), живший в Сиракузах на о. Сицилия. Теорией в математике он начал заниматься довольно поздно – в возрасте свыше 40 лет. Задача

Все его математические работы поражают сочетанием оригинальной мысли, мастерской техникой вычисления и строгостью доказательств. Обилие вычислений отличает его труды от творческих работ других греческих математиков, что сближает его с математиками Востока. Древний писатель Плутарх так высказывался о математических открытиях Архимеда: «Во всей геометрии нет теорем более трудных и более глубоких, нежели теоремы Архимеда».

Проверь себя! Задача Архимеда и Докажем, что S 2 = 2S 1 Мы знаем, что Тогда a Значит S2 = 2S1, что и требовалось доказать. Все гениальное просто!

Задача ал-Караджи «Найти площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру». Проверь себя! 1 Г.И. Глейзер «История математики в школе VII-VIII классы» Москва «Просвещение» 1982 год стр

Ал - Караджи Ал- Караджи (? – 1016) Абу Бакр Мухаммед ибн Хасан Иранский математик Его заслуга в том, что он ввел бесконечно много положительных и отрицательных степеней неизвестных и арифметических операций над многочленами Автор «Достаточной книги о науке арифметике» Автор книги по алгебре «Аль-Фахри» Задача

Проверь себя! Задача ал- Караджи 2х х Тогда По условию задачи: X=0 – не подходит по смыслу задачи, значит: 1.2 · 3 = 6 (см) – длина прямоугольника Ответ: площадь прямоугольника равна 18. Все гениальное просто!

Высказывания древних… В огромном саду геометрии каждый найдет себе букет по вкусу. Давид Гильберт Геометрия есть познание всего сущего. Платон Всякая книга природы написана языком математики. Галилей