Параллельность прямой и плоскости «Геометрия есть познание всего сущего» Платон Платон

Цель Цель: создать задачник- практикум по теме «Параллельность прямой и плоскости.»

Задачи: формирование логического мышления, пространственного представления через решения задач; развитие умения составлять наглядные рисунки по условию задач; оказание взаимопомощи одноклассникам, испытывающим затруднения; формирование навыков самопроверки и самооценки.

Гипотеза: если мы создадим задачник – практикум, то сможем внедрить проект в образовательный процесс и помочь одноклассникам, испытывающим затруднения.

Объект Объект: тема «Параллельность прямой и плоскости» Предмет Предмет: задачи разного уровня сложности по данной теме.

Этапы проекта: изучение литературы по данной теме; подбор задач; самостоятельное решение подобранных задач; разбор решенных задач; создание мультимедийной презентации; защита проекта на научно- практической конференции «Эрудит»

Решение задач на параллельность прямой и плоскости Задача 1 Плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точках В и С. Известно, что ВС ll α, и АВ: В В= 5:3, АС=24см. Найти АС

Рисунок по условию задачи А В С В С

Решение 1 Плоскость треугольника АВС проходит через прямую ВСllα и пересекает плоскость α по прямой В С, тогда по утверждению 1 прямая ВС параллельна прямой В С. 2.АВС ~ АВ С по первому признаку подобия треугольников (угол В- общий, углы ВАС и ВВ С соответственные при параллельных прямых ВС и В С ) 3.3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон ВС: В С = АВ:АВ =АС:АС =5:2. по условию АС= 24 и АС:АС = 5: 2, то 24:АС = 5: 2, решив пропорцию получим 5АС =48, АС =48:5, АС =9,6 см

Реши самостоятельно и проверь ответы Задача 2 Дан треугольник АВС, т Е принадлежит АВ, т К принадлежит ВС, ВЕ:ВА= ВК: ВС=2:5.Через прямую АС проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС. Доказать, ч то ЕК ll α, и найти длину отрезка АС, если ЕК= 4см Задача 3 Дан треугольник АВС, т М принадлежит АВ, т К- стороне ВС и ВМ:МА=3: 4.Через прямую МК проходит плоскость α, параллельная прямой АС. Доказать, что ВС:ВК=7:3, найти длину отрезка МК, если АС= 14см

Проверь себя А С В Е К α Решение: 1.Рассмотрим треугольники АВС и ВКЕ Они подобны по 2 признаку подобия, так как две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и угол В общий. из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ВКЕ и ВСА, прямая КЕ ll АС ( по признаку параллельности прямых ) 2.Составим пропорцию КЕ:АС= ВЕ: ВА, 4: АС= 2:5, 2АС=20, АС= 10см Задача 1

М К α Задача 2 В С А Дан треугольник АВС, т М принадлежит стороне АВ, К принадлежит ВС, причем ВМ:МА =3:4 Через прямую МК проходит плоскость, параллельная прямой АС Докажите, что ВС:ВК=7:3 и найдите длину отрезка МК, Если АС=14см Решение: Плоскость ВАС проходит через прямую АС параллельную плоскости α и пересекает ее по прямой МК,значит прямая АС параллельна прямой МК(утверждение 1) Треугольники МВК и АВС подобны по 1 признаку подобия Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон ВМ:ВА=ВК:ВС=МК:АС, так как по условию отношение ВМ:МА= 3:4,то ВМ:ВА=3:7, значит ВС:ВК=7:3, Чтобы найти длину отрезка МК, составим пропорцию МК:АС=ВК: ВС,МК:14= 3:7, 7МК=42, МК=6см.

Угол между скрещивающимися прямыми m n С Прямые m и n скрещивающиеся по признаку скрещивающихся прямых, прямая t ll n и проходит через С – точку пересечения прямой m с плоскостью α По определению угол между прямыми m и n есть угол ВСД В t

Задача Основание АД трапеции АВСД лежит в плоскости Β. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках Е и F соответственно. 1.Докажите, что ВСFЕ-параллелограмм 2.Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ? Чему равен угол между ними, если угол АВС=150°? Поясните. АД ВС Е F β

Решение Решение : ВЕ и СF параллельные прямые задают плоскость ВСF, которая пересекает плоскость β по прямой ЕF. ВС ll АД по определению трапеции, АД принадлежит плоскости β, тогда ВС ll β(по признаку параллельности прямой и плоскости) Плоскость ВСF проходит через прямую ВС параллельную плоскости β и пересекает плоскость β по прямой ЕF,тогда линия пересечения ЕF параллельна данной прямой ВС.(утверждение1), из того, что ВЕ ll СF и ВС ll ЕF, следует что ВСFЕ-параллелограмм. так как ВС ll АД и ВС ll ЕF, то по теореме о трех параллельных прямых АД ll ЕF. Так как АВ пересекает плоскость β в точке А, не принадлежащей прямой ЕF, то прямые АВ и ЕF скрещивающиеся. (по признаку скрещивающихся прямых) Угол между этими прямыми есть угол ВАД По условию задачи угол АВС равен 150°, значит угол ВАД равен 30°

Выводы: Стереометрия-это раздел геометрии, изучающий свойства объемных тел.Поэтому наш проект направлен на формирование логического мышления и пространственного воображения. В процессе работы над проектом гипотеза подтвердилась. Задачник- практикум успешно внедрен в образовательный процесс и помогает одноклассникам в постижении науки- стереометрии.

Литература Литература: А.П. Ершова «Устные проверочные и зачетные работы» Москва «Илекса»2006г М.А.Иченская «Самостоятельные и контрольные работы» Издательство «Учитель» Волгоград 2005г Б.Г.Зив «Дидактические материалы» Просвещение Москва 2004г В.Н.Литвиненко «Проверочные и контрольные работы» Вербум-М Волгоград 2000г. Б.Г.Зив,В.М.Мейлер «Задачи по геометрии»Москва «Просвещение» 2000г