Уравнения

Содержание 1 Понятие уравнения и его свойства 2 Методы решения уравнений Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Функционально-графический метод 1 Понятие уравнения и его свойства 2 Методы решения уравнений Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Функционально-графический метод

1 Понятие уравнения (определение, равносильность) 2 Теоремы о равносильности уравнений 3 Понятие алгебраического, рационального, дробно- рационального, иррационального уравнений 4 Суть методов а) разложение на множители б) замена переменной в) функционально-графический 1 Понятие уравнения (определение, равносильность) 2 Теоремы о равносильности уравнений 3 Понятие алгебраического, рационального, дробно- рационального, иррационального уравнений 4 Суть методов а) разложение на множители б) замена переменной в) функционально-графический

Метод разложения на множители Пример 1. Решить алгебраическое уравнение : (х-α)³+(х-b)³=(2х-α-b)³. Соберём все члены в левой части уравнения и сумму кубов (х-α)³+(х-b)³ разложим на множители. После этого в левой части можно выделить общий множитель 2х-α-b: (2х-α-b)((х-α)²-(х-α)(х-b)+(х-b)²-(2х-α-b)²)=0, (2х-α-b)(-3х²+3(α+b)х-3αb)=0. Отсюда х =(α+b):2, х=α, х=b. Ответ:(α+b ):2; α; b. Пример 1. Решить алгебраическое уравнение : (х-α)³+(х-b)³=(2х-α-b)³. Соберём все члены в левой части уравнения и сумму кубов (х-α)³+(х-b)³ разложим на множители. После этого в левой части можно выделить общий множитель 2х-α-b: (2х-α-b)((х-α)²-(х-α)(х-b)+(х-b)²-(2х-α-b)²)=0, (2х-α-b)(-3х²+3(α+b)х-3αb)=0. Отсюда х =(α+b):2, х=α, х=b. Ответ:(α+b ):2; α; b.

Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в таком виде Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям: (х-6) ( - )=0 Пример 2. Решите дробно-рациональное уравнение: Представим уравнение в таком виде Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям: (х-6) ( - )=0

Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х=-9, х=-6, х=-15, х= -8. Тогда Ответ: 6,-33/4. Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х=-9, х=-6, х=-15, х= -8. Тогда Ответ: 6,-33/4.

Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб, пользуясь формулой (a+b)³=a³+b³+3ab(a+b). Будем иметь: Пример 3.Решите уравнение: Возведем обе части уравнения в куб, пользуясь формулой (a+b)³=a³+b³+3ab(a+b). Будем иметь:

А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1: Последнее уравнение также возведем в куб: (х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0, (х-1)х²=0. Отсюда х=1, х=х=0. Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет. Ответ: 1. А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1: Последнее уравнение также возведем в куб: (х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0, (х-1)х²=0. Отсюда х=1, х=х=0. Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет. Ответ: 1.

Введение новой переменной Пример 4. Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)= 4х 2. В левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-9х+8)(х²-6х+8)=4х². А дальше разделим обе части уравнения на х 2, пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения: (x-9+ )(x-6+ )=4 Пример 4. Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)= 4х 2. В левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-9х+8)(х²-6х+8)=4х². А дальше разделим обе части уравнения на х 2, пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения: (x-9+ )(x-6+ )=4

Введем подстановку: х-9+ =у. Будем иметь: y(у+3)=4, у 2 +3у-4=0; у 1 =1, у 2 =-4. В обоих случаях найдем х, решая совокупность уравнений х,=5 Ответ: 5. Введем подстановку: х-9+ =у. Будем иметь: y(у+3)=4, у 2 +3у-4=0; у 1 =1, у 2 =-4. В обоих случаях найдем х, решая совокупность уравнений х,=5 Ответ: 5.

Пример 5.Решите уравнение: (х+3)+(х+5)=16. Положим х+4=y,т. к. =х+4. Имеем: (y-1)+(y+1)=16. Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y+6y²-7=0. Его корни y, =. Отсюда х=-3, х=-5. Ответ: -3; -5. Пример 5.Решите уравнение: (х+3)+(х+5)=16. Положим х+4=y,т. к. =х+4. Имеем: (y-1)+(y+1)=16. Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y+6y²-7=0. Его корни y, =. Отсюда х=-3, х=-5. Ответ: -3; -5.

Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того, чтобы получить в левой части квадрат разности: А теперь очевидная подстановка = у. Ответ:. Пример 6. Решите уравнение: Отнимем от обеих частей уравнения для того, чтобы получить в левой части квадрат разности: А теперь очевидная подстановка = у. Ответ:.

Пример 7. Решите уравнение: х 2 +8х+8=4(х+2) Положим =t. При это равенство равносильно равенству х+1=t 2. Получаем систему рациональных уравнений: Для ее решения выразим х через t из второго уравнения: х = t Пример 7. Решите уравнение: х 2 +8х+8=4(х+2) Положим =t. При это равенство равносильно равенству х+1=t 2. Получаем систему рациональных уравнений: Для ее решения выразим х через t из второго уравнения: х = t 2 -1.

Подставим это выражение в первое уравнение и новое уравнение упростим (t 2 -1) 2 +8(t 2 -1)+8=4(t 2 -1)t, t 4 -2t t =4t 3 +4t, t 4 -4t 3 +6t 2 -4t+1=0. Последнее уравнение имеет корень t=1. Мало того, проверка показывает, что значение t=1 является четырехкратным корнем этого уравнения. Тогда уравнение принимает вид (t-1) 4 =0. Если t=1, то х=0. Ответ: 0. Подставим это выражение в первое уравнение и новое уравнение упростим (t 2 -1) 2 +8(t 2 -1)+8=4(t 2 -1)t, t 4 -2t t =4t 3 +4t, t 4 -4t 3 +6t 2 -4t+1=0. Последнее уравнение имеет корень t=1. Мало того, проверка показывает, что значение t=1 является четырехкратным корнем этого уравнения. Тогда уравнение принимает вид (t-1) 4 =0. Если t=1, то х=0. Ответ: 0.

Функционально-графический метод Пример 8.Решите уравнение: Найдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств Решением первого неравенства является множество, второго отрезок. Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет. Ответ: 1. Пример 8.Решите уравнение: Найдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств Решением первого неравенства является множество, второго отрезок. Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет. Ответ: 1.

Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2. Имеет ли оно другие корни? Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет. Ответ: 2. Пример 9. Решите уравнение: Очевидно один корень уравнения х=2. Имеет ли оно другие корни? Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет. Ответ: 2.