Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающих некоторое геометрическое тело.
Элементы Многогранника: Грань Рёбра Вершины Диагональ - Грани (многоугольники) - Рёбра (стороны граней) - Вершины - Диагонали
Свойство выпуклого многогранника: Сумма всех плоских углов в его вершине меньше 360 градусов. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одно сторону от плоскости каждой своей грани. Все грани выпуклого многогранника – выпуклые многоугольники.
Прямоугольный параллелепипед выпуклым Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Невыпуклый многогранник
Многогранник называется правильным, если он: 1. Выпуклый 2. Все его грани –равные правильные многоугольники 3. В каждой вершине многогранника сходиться одно и то же число рёбер
Параллелепипед Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.
Тетраэдр Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников. многогранником Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. С А В SS
Октаэдр Октаэдр составлен из восьми треугольников. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называютсягранями. ребрами, вершинами Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами. диагональю Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Призма А1А1 А2А2 АnАn B1B1 B2B2 nBnnBn B3B3 А3А3 n Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. n-угольная призма. Многоугольники основания призмы А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n – основания призмы. боковые грани призмы Параллелограммы А 1 В 1 В 2 В 2, А 2 В 2 В 3 А 3 и т.д. боковые грани призмы
Призма (греч. prísma), многогранник, у которого две грани равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях (основания призмы), а остальные n граней (боковых) параллелограммы Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания. Высота прямой призмы равна боковому ребру, а все боковые грани - прямоугольники Прямая призма Наклонная призма
прямой, наклонной Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Призма А1А1 А2А2 АnАn B1B1 B2B2 nBnnBn B3B3 А3А3 Отрезки А 1 В 1, А 2 В 2 и т.д. - боковые ребра призмы высотой призмы Перпендикуляр, проведенный из какой- нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Грани (многоугольники) Ребра (стороны граней) Вершины Диагональ призмы
Высотой (h) призмы называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания призмы. Отрезок, концы которого - две вершины, не принадлежащие одной грани призмы, называют ее диагональю. (Отрезок A1D - диагональ призмы) A BC D F E A1 B1 C1 D1 E1F1
правильной, Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.
Площадью полной поверхности призмы площадью боковой поверхности призмы Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. hh P oc н
: основания – равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях, боковые грани – параллелограммы. Наклонная – боковые грани – параллелограммы. H H1H1 A k F M N P D HH 1 – высота призмы AH (k) – боковое ребро призмы FMNPD – сечение, перпендикулярное боковому ребру
|| АВСD и A 1 B 1 C 1 D 1 – равные параллелограммы – основания АА 1 || ВВ 1 || СС 1 || DD 1 – боковые ребра Все грани параллелограммы. AA 1 B 1 B; BB 1 C 1 C; CC 1 D 1 D; AA 1 D 1 D – боковые грани DB 1 – диагональ Свойства. 1. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. А В С D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1
– это параллелепипед, у которого боковые грани являются прямоугольниками. А В С D A1A1 B1B1 С1С1 D1D1 a b c
– это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники. а b c a – длина, b – ширина, с – высота, d – диагональ d d 2 = a 2 + b 2 + c 2
Прямая призма – боковые грани – прямоугольники. а а а d все грани - квадраты H
1. Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 3. A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 Ответ:
2. Найдите расстояние между вершинами А и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 3. A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 Ответ:
3. Найдите угол ABD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ дайте в градусах. D A1A1 A B C B1B1 C1C1 D1D Ответ: 45
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в Найдите боковое ребро параллелепипеда В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 ? D А 12 см 5 см 45 0
Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 ? D А см
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания А В С С1С1 В1В1 А1А
Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы HВ СD А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 А F 9 88
Через два противолежащих ребра проведено сечение, площадь которого равна см 2. Найдите ребро куба и его диагональ D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 a a a 64 S=
Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в Найдите угол между диагональю и плоскостью основания В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 D А? 30 0 aa a 2a2a2a2a a 2a 2a 2a 2
В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см D А В С D1D1 С1С1 В1В1 А1А O N
А B C 1 B1B1 А1А1 C Основанием наклонной призмы АВСА 1 В 1 С 1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13см, ВС=10см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в Проекцией вершины А 1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС 1 В 1 В
120 0 А1А1 Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы А В С С1С1 В1В1 3 5 S=35 см 2
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в Меньшая из площадей диагональных равна 130 см 2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 D S=130см 2 А А D С В
Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 S 1 =A 1 A 2 * l S 2 =A 2 A 3 * l S 3 =A 3 A 4 * l S 4 =A 4 A 1 * l +
Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы А В С D А1А1 D1D1 С
А B C 1 B1B1 А1А1 C В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы К О
D d Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол, а с одной из боковых граней – угол. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 А В С
Основание прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ 1 проведено сечение ВВ 1 D 1 D, перпендикулярное к плоскости грани АА 1 С 1 С. Найдите площадь сечения, если АА 1 =10см, АD=27см, DC= 12см А С В В1В1 А1А1 С1С1 D D1D Из АВС S сеч = 10 * 18
Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите S сеч, если катеты равны 20см и 21см, а боковое ребро равно 42 см А С В В1В1 А1А1 С1С1 D D1D N N1N А С В D N ?
D Высота правильной четырехугольной призмы равна, а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD 1 С 1 С. А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 А В С О 8 8
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и E A F E ° 1 Ответ: 2
5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E. 1 1 O B E 1 1 Ответ: 2
6. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны. Найдите расстояние между точками B и E 1. Ответ: 5
7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD 1 D Ответ: 2 Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 60
8. Найдите расстояние между вершинами A и C 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ: 3 Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C 2. Ответ: 5
9. Найдите расстояние между вершинами B 1 и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 1 2 Ответ: 3
10. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые Ответ: 14
11. Найдите тангенс угла CDC 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 2 2 Ответ: 1
12. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 2 Ответ: 6
13. Найдите угол D 2 EA многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах. Δ D 2 EA – равносторонний, значит,