Музыка и математика Выполнила ученица 7 «Б» класса ГОУ ЦО 548 «Царицыно» Михайлова Анна Руководитель проекта Синельникова Н.А. Консультант; Лагутина Е.С.
Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом. "Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства", - писал Г.Нейгауз. Непривычно слушать подобные слова, исходящие из уст музыканта. Казалось бы, искусство – весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства. Введение.
Цели и задачи. Выяснить, есть ли связь между математикой и музыкой. Изучить, почему эта связь возникла. Рассмотреть историю связи между ними. Доказать существование этой связи на примерах.
Оглавление 4. Что придумал Пифагор и Веркмейстер. 1. Кое-что о каркасе или восприятие звуков. 2. Подарок природы. Тетива и струна. 3. Задолго до мажора и минора, история черных клавиш. 5. Тайные танцы чисел. 6. Сходства математики и музыки. Список литературы.
Что придумал Пифагор и Веркмейстер. Что придумал Пифагор. А. Веркмейстер. Все равны!
Что придумал Пифагор Монохорд.Монохорд Звук. Закон Архита и закон Пифагора. Пропорции в музыкальных интервалах. Настройка инструментов. Пифагоров строй. Конфликты в Пифагорово строе.
А. Веркмейстер. Все равны!. Идея Веркмейстера. Проблемы, которые остались.
Все знают, что он был ученым и, в частности, автором знаменитой теоремы. А то, что он был еще и блестящим музыкантом, известно не так широко. Сочетание этих дарований позволило Пифагору первым догадаться о существовании природного звукоряда. Но надо было еще доказать это. Пифагор построил для своих экспериментов полуинструмент, полуприбор монохорд. Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхней крышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы удобнее было зрительно делить струну на части. Множество опытов проделал Пифагор с монохордом и в конце концов описал математически поведение звучащей струны. Опыты Пифагора легли в основу науки, которую мы называем сейчас музыкальной акустикой." Монохорд
Прежде чем перейти к этому описанию, надо вспомнить, что такое звук. Согласно акустике, звук распространяется в воздухе волнообразно. Это значит, что с того момента, как зазвучали музыкальные инструменты, от них по всему залу расходятся звуковые волны. Колебания, передаваемые через воздух, заставляют вибрировать наши барабанные перепонки, в результате чего мы и улавливаем звук. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Одни считали, что это зависит от натяжения струны, другие видели ответ в том, что длина струны - причина того или иного звучания, третьи определяли консонанс с помощью высоты тона. Ясность в этом вопросе наступила после Архита (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха. Звук. Закон Архита и закон Пифагора.
Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине. Архит был последним из пифагорейского союза. Он был удивительно талантливым и разносторонним человеком. Прославился в области математики и механики. Известно, что он был полководцем и политическим деятелем. И, конечно, крупным теоретиком в области пифагорейской музыки. В основе их музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1.Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10= , т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n/(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал. 2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l*w = a/l, (а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны).
В дальнейшем потребуются несколько понятий теории музыки. В частности гаммы, интервала между тонами, лада. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальными коэффициентами двух тонов - отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего: w1/w2. Пропорции в музыкальных интервалах.
Интервальные коэффициенты и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили следующие названия: октава (w2/w1= 2/1, l2/l1=1/2); квинта (w2/w1=3/2, l2/l1= 2/3); кварта (w2/w1=4/3, l2/l1 = 3/4). Звуки в музыкальной гамме связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим, устойчивым. В каждой гамме есть наиболее устойчивый, основной тон. Он называется тоникой, и с него начинается данная музыкальная система. Лад - приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный характер звучания. Математическое выражение системы звуковысотных соотношений – лада называется музыкальным строем.
Основой музыкальной шкалы-гаммы пифагорейцев был интервал - октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим.
Составим среднее арифметическое для тоники и ее октавного повторения. Т.к. w2=2w1, то w3=(w1+w2)/2= =3w1/2 или w3/w1= 3/2. Среднее арифметическое частот колебаний w1 и w2 помогает найти еще один совершенный консонанс - квинту. Длина струны l3 по второму закону Пифагора-Архита будет средним гармоническим длин струн l1 и l2 =1/2l1; l3=2l1l2/(l1+l2)=2/3 >= l3/l1=2/3. Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1 и октавы w2, получим w4=2w1w2/(w1+w2)=4w1/3 >= w4/w1=4/3. В результате находим еще один совершенный консонанс - кварту. Определим, как связаны длины струн найденных частот. Выполняя последовательно преобразования w4=2w1.w2/(w1+w2), получим, что l4=(l1+l2)/2=3/4l1; l4/l1=3/4.Это значит, что длины струн l1, l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим.
Итак, квинта является средним арифметическим частот основного тона w1 и октавы w2, а кварта - средним гармоническим w1 и w2. Или иначе: квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а кварта - среднее арифметическое l1 и l2. Это лишь незначительная часть тех прекрасных пропорций, которые были воплощены в пифагорейской музыкальной гамме. Гармонию звуков пифагорейцы считали лишь проявлением более глубокой гармонии - красоты окружающего мира. Пифагорейцы известны в истории эстетики благодаря еще одной теории. Она также была связана с музыкой, но имела иной характер. Если первая теория, как мы убедились, была построена на математических пропорциях, то вторая теория провозглашала музыку силой, способной воздействовать на душу. Хорошая музыка может улучшить душу, а плохая - испортить ее. Такое музыкальное действие греки называли психагогией, или управлением душами.
Когда древнегреческие музыканты ввели пять дополнительных звуков и убедились, что проблема все же осталась, Пифагор взялся за решение уже не теоретической, а сугубо практической задачи: как настроить инструмент, чтобы не увеличивать количество звуков в каждой октаве сверх двенадцати и в то же время дать возможность музыкантам свободнее переходить из тональности в тональность и из лада в лад? Внутри октавы наиболее слитно с начальным звуком воспринимается квинта, которая составляет с ним тоже простейшее после октавы соотношение 3:2. Пифагор решил поэтому взять квинту за основу строя и вывел удивительно красивую формулу полюбуйтесь ею. Но поскольку внешняя красота пока мало о чем говорит, восстановим расчеты Пифагора. Пусть вас не смущают показатели степени в формуле все опять же сводится к арифметике. Настройка инструментов.
Пифагору принадлежит и математическое объяснение основ гармонии. Следуя собственной теории совершенства малых чисел, он определял суть гармонии так: наиболее естественно воспринимаются ухом частоты, которые находятся между собой в простых числовых соотношениях. Вот откуда и октава 1:2, и трезвучие 4:5:6.
Обратимся к очередной таблице.таблице Подставляем вместо единицы частоту 384 правую границу уже хорошо знакомой нам октавы. Условно обозначаем ее до. Вправо от до квинта, то есть пятый звук, считая только основные, а вместе с дополнительными восьмой, будет соль. Частота его три вторых от 384, то есть 576. Квинта от соль ре. Частота три вторых от И так далее, вплоть до фа. Влево от до квинта фа. Частота две трети от ,9. Квинта от фа си-бемоль. Частота две трети от 255,9170,6. И так до соль-бемоль. Пифагоров строй.
Мы получили ряд из тринадцати частот. Тринадцати, а не двенадцати, потому что крайние справа и слева частоты принадлежат одному и тому же звуку: фа-диез то же самое, что соль-бемоль. Теперь этот ряд частот, который охватывает почти весь музыкальный диапазон, нам предстоит свести в одну октаву, то есть последовательным умножением или делением на два (отчего, как мы знаем название звука не меняется) уложить в промежуток между 192 и 384. Если какая-то частота после умножения или деления на два не улеглась в границы октавы, нужно еще раз умножить или разделить ее на два. После этих действий мы получим октаву, к которой пришел Пифагор.
Рассматривая ее основные частоты, вы увидите небольшие расхождения с прежним, идеально чистым строем. Вместо частоты 240 появилась частота 243, вместо , а 360 Превратилось в 364,5.
Эти незначительные изменения произвели революцию в музыкальном строе. Интервалы более или менее выровнялись. Определились точные частоты дополнительных звуков. Музыканты, пользуясь теми же двенадцатью звуками в октаве, получили возможность переходить из тональности в тональность гораздо свободнее. Поэтому Пифагоров строй продержался больше двух тысяч лет. Прежний конфликт музыканта с инструментом был улажен. Однако наметился новый.
Обратите внимание на то, что в Пифагоровом строе между фа и соль стоят две частоты. Когда мы последовательным делением на два привели крайнюю правую частоту фа-диез в нашу октаву, получилось одно число. А когда последовательным умножением на два привели в нашу октаву крайнюю левую частоту си-бемоль, получилось другое. Это было попутное открытие Пифагора: пониженный звук не равен повышенному предыдущему. В нашем примере соль-бемоль не равно фа-диез. Если вы продлите по квинтам формулу Пифагора вправо еще на четыре элемента до-диез, соль-диез, ре-диез и ля-диез и самостоятельно проделаете все знакомые уже арифметические операции, то убедитесь, что это открытие справедливо для любого дополнительного звука. Конфликты в Пифагорово строе.
Но чтобы не добавлять новые струны, это противоречие разрешили просто: усреднили две частоты и оставили, как и было, между двумя основными звуками один дополнительный. Усреднение это стало традиционным, так что и сейчас, например, пианист вынужден пользоваться одной черной клавишей там, где, согласно точным акустическим расчетам, их должно быть две. А вот скрипач может по-разному взять соль-бемоль и фа- диез, как и другие повышенные и пониженные звуки. Может взять их по-разному и тромбонист кулиса его инструмента передвигается совершенно свободно.
Усреднение двух близких частот совершенно незаметно для слушателя с обычным слухом, и не в этом суть нового конфликта. Он выявится, если мы подойдем к расчетам Пифагора с другой стороны. Когда мы располагали звуки по квинтам, самая левая частота соль-бемоль получилась у нас 33,7, а самая правая частота фа-диез Давайте попробуем пройти от первого ко второму октавами, то есть последовательным умножением на два. После семи умножений получим число 4313,6. Как видим, оно существенно расходится с 4374 на шестьдесят герц. А ведь мы имеем дело с одним и тем же звуком. Выходит, целое число квинт не укладывается в целое число октав. Это расхождение называется Пифагоровой коммой. Комма и привела к конфликту.
О лютнистах эпохи Возрождения шутливо говорили так: если они живут шестьдесят лет, то двадцать из них настраивают свой инструмент. Эта шутка основана на действительном явлении. На грифе лютни первое время не было врезанных намертво порожков, гриф просто перевязывался в определенных местах тонким шнурком или жилами. Эти перевязки и образовывали порожки, которые могли передвигаться по грифу. И вот музыканты, так и этак передвигая порожки, искали наилучшее их Расположение, чтобы не так сказывалась Пифагорова комма. Причем это нельзя было сделать раз и навсегда, потому что играли ведь не в одной тональности. Вот и приходилось каждый раз перед концертом приспосабливать лютню к нужным в данном выступлении тональностям.
Конечно, музыкантам трудно было смириться с раздражающим неудобством. Особенно досадовали органисты: ведь орган присуща уникальная длительность звука. Одно дело фальшь на лютне, там звук быстро затухает, и совсем другое, когда «волком воет» орган! Не удивительно поэтому, что именно органист предложил следующую и пока последнюю реформу музыкального строя. Было это в конце семнадцатого века.
Андреас Веркмейстер был не только органистом, но и теоретиком музыки. Он сформулировал задачу так. Первое: нужно сохранить в октаве двенадцать традиционно устоявшихся звуков. Второе: все соотношения между соседними частотами должны быть абсолютно равными. Третье: никакой коммы не должно быть. Все равны! Идея Веркмейстера.
Поставленная таким образом задача имеет единственное решение: каждая последующая частота будет относиться к предыдущей так, как корень двенадцатой степени из двух относится к единице. А если говорить проще, Веркмейстер равномерно распределил Пифагорову комму между всеми звуками внутри каждой октавы. Комма рассосалась, растворилась, стала почти незаметной. Но досталось это дорогой ценой: не осталось ни одного чистого интервала внутри октавы. Веркмейстер не пощадил даже квинту этот интервал, тысячелетиями считавшийся незыблемым, стал чуть короче. Как вы догадываетесь, ровно настолько, что теперь двенадцать квинт точно укладывалось в семь октав. Сама октава вышла из этой передряги без потерь она единственная осталась чистой.
Многих музыкантов поначалу возмутило предложение Веркмейстера. Ни одного чистого интервала внутри октавы это казалось посягательством на первоосновы музыки. Однако через два-три десятилетия, прислушавшись, почти все смирились с компромиссом, потому что разница между чистой настройкой и той, что предложил Веркмейстер, была едва уловимой, а достоинства нового строя постепенно стали очевидными. Исчезли «волки». Стало возможным переходить из тональности в тональность и из мажора в минор как угодно. В ладу, естественно, остались те же семь основных звуков, но теперь любой лад мог открываться с любой клавиши, хоть с черной. Впервые делом доказал это великий Бах, написав цикл произведений для всех двадцати четырех тональностей двенадцати минорных и двенадцати мажорных. До реформы Веркмейстера такое количество тональностей существовало лишь теоретически, а на практике было невыполнимо, ибо пришлось бы чуть не для каждой из них заново перестраивать инструмент.
Можно было бы привести еще одну таблицу для математической демонстрации нового строя, но лучше всего представить себе современную музыкальную шкалу, глянув на гриф гитары. Каждое расстояние между порожками относится к соседнему, меньшему, как корень двенадцатой степени из двух относится к единице. Казалось бы, все хорошо, но проблемы остались до сих пор.
Музыканты с особо тонким слухом чувствуют неточность настройки, их не удовлетворяет отсутствие строгой чистоты звучания многих инструментов. Известно, как мучился композитор Александр Скрябин, не находя в строе рояля чистых квинт, терций и других интервалов. А русский музыкант и музыкальный критик прошлого века Владимир Одоевский даже заказал себе рояль, в каждой октаве которого было не двенадцать, а семнадцать клавиш Этот рояль сейчас можно увидеть в московском Музее музыкальной культуры имени Глинки. Проблемы, которые остались.
Компромиссным остался и строй оркестра. Фортепиано, челеста, ксилофон настраиваются по Веркмейстеру. Вся скрипичная группа может играть в чистом строе, но вынуждена подлаживаться. А медные трубы, у которых нет отверстий в боку, и хотели бы подладиться, да не могут. Ведь труба, гни ее или скручивай, остается трубой, физическим телом, и ни наш слух, ни Пифагор, ни Веркмейстер не в состоянии ничего с ней поделать.
До сих пор медные духовые играют в натуральном строе, и композиторы, поручая им ту или иную партию, учитывают те звуки, которые особенно заметно расходятся с нынешним музыкальным строем. Даже настройка гитары, домры, мандолины остается проблемой для музыканта с тонким слухом. Эти и другие инструменты с порожками на грифе, даже если они сделаны мастером безукоризненно, в принципе нельзя настроить абсолютно верно, потому что струны между собой должны настраиваться чисто, а порожки в гриф врезаются по Веркмейстеру. Возьмем, например, классическую гитару. Звук, взятый, скажем, на прижатой к пятому порожку второй струне, не вполне соответствует звучанию открытой первой струны, а между тем это один и тот же звук ми. Таковы нерешенные проблемы.
А кроме проблем, остались интересные вопросы. Математически все тональности равны, но почему у многих композиторов есть любимые? Почему тональности, даже если все они минорные или все мажорные, кажутся им разными? Были попытки как-то объяснить это, но удовлетворительных ответов пока нет. Видимо, и здесь вступает в силу то знаменитое «чуть-чуть», которое есть в любом искусстве. И никакая арифметика здесь уже не поможет.
1. Кое-что о каркасе или восприятие звуков. Музыкальный каркас – октава. Происхождение октавы.
«Музыка это бессознательное упражнение души в арифметике». Так считал немецкий философ, математик и физик Готфрид Лейбниц. Если соотнести эти слова с обилием музыки в наше время, можно смело утверждать, что мы, сами того не осознавая, упражняемся в арифметике каждый день. Возьмем число сто. Не сто каких-то предметов, а просто число сто. Его можно выразить и по-другому: десять десятков. Если для наглядности мы положим перед собой метровую линейку, то увидим, что десятки обозначены более длинными черточками. Это как бы каркас, в котором размещаются черточки поменьше единицы. Музыкальный каркас – октава.
Для чего мы вспомнили сведения, знакомые нам еще с первого класса? Чтобы сравнить с музыкальным звукорядом. То количество звуков, которыми мы располагаем в музыке, тоже имеет свой каркас делится на октавы. В арифметической сотне каждое круглое число завершает предыдущий десяток и служит точкой отсчета для нового. А в музыкальном звукоряде каждый восьмой звук (если не считать пока те, которые берутся черными клавишами) завершает одну октаву и открывает следующую. Отсюда и значение слова «октава» восьмой.
В арифметике счет десятками имеет известное всем объяснение: он произошел от десяти пальцев на руках. Музыкальная октава тоже имеет природное происхождение, в основе которого лежит слух человека. Как пальцы определили границы десятков, так наше ухо определило границы октав. Вот как это получилось. Происхождение октавы.
Допустим, мы слышим звук с какой-то определенной частотой. Если вслед за ним мы услышим звук с частотой ровно вдвое больше, то он покажется нам хоть и выше предыдущего, но очень похожим на него по восприятию. Ухо, сравнивая эти два звука, наделяет их одним качеством. Причем они настолько близки по характеру, что если взять их одновременно, мы услышим не два звука, а один. Естественно, не имело смысла давать разные названия столь похожим звукам, поэтому с каждым удвоением частоты название повторяется. Например, звуки с частотами 55, 110, 220, 440, 880, 1760, 3520 герц называются ля. В каких бы комбинациях мы ни брали одновременно две, три, четыре из этих частот или хоть все вместе, в любом случае мы будем слышать один звук, а не сочетание разных звуков. Не удивительно, что все они имеют одно название.
Но суть, конечно, не столько в названиях, сколько в том, что каждая из этих частот совершенно естественно, сообразуясь с нашим слухом, завершает одну октаву и открывает другую. Названия как раз условны (нынешние, например, появились только в середине нашей эры), как условно и то, с какой ноты считать начало октавы. Если мы построим такой же ряд частот для ре или ми, числа получатся другими, но все равно каждая следующая частота будет удваиваться, завершая одну октаву и открывая другую. Сейчас началом каждой октавы принято считать звук до, а когда-то считался звук ля, и в буквенном обозначении нот это сохранилось до сих пор: ля выражается латинской буквой А, потом идут В, С и так далее. От старого исчисления сохранилась и эталонная нота: за основу берется звук ля первой октавы, частота которого на всех инструментах должна быть равна 440 герцам.
Вы заметили, конечно, некоторую неясность. Частота 440 герц лежит в середине построенного нами ряда, а мы почему-то приписали ее первой октаве. Дело в том, что первой октавой в музыкальном звукоряде считается самая употребительная, самая ходовая, что ли. На клавиатуре фортепиано она размещается посередине. Правее идут вторая, третья, четвертая и кусочек пятой. Левее малая октава, большая октава, контроктава и кусочек субконтрактавы.
Вернемся к нашему хоть и грубому, но наглядному сравнению с метровой линейкой. Каждый дециметр состоит из десяти сантиметров, и если мы назовем, например, пятерку, находящуюся в третьем десятке, сразу станет ясно, что имеется в виду число двадцать пять. А если назвать ля третьей октавы, то сразу же можно найти на клавиатуре фортепиано единственный звук из восьми с таким же названием
Отсюда вытекает следующий вопрос. Ясно, что десять единиц внутри десятка вещь совершенно естественная, как и десять пальцев на руках. А вот откуда внутри октавы семь нот, а не десять, не пятьдесят, не сто? Внутри второй октавы, например, мы могли бы различить по высоте даже полтораста звуков Но их всего семь, как и в любой другой, если игнорировать пока пять дополнительных, до которых мы дойдем в свое время. Оказывается, для музыки семь звуков внутри октавы такая же естественная вещь, как десять пальцев на руках для арифметики. Уже тетива самого первого лука, колеблясь после выстрела, давала готовым тот набор музыкальных звуков, которыми мы почти без изменения пользуемся до сих пор.
Колебание струн. Природные тела. Фанфары. Вопрос в звукоряде. Очень важное «почти». Расхождение естественного от искусственного.Очень важное «почти». Расхождение естественного от искусственного. 2. Подарок природы. Тетива и струна.
С точки зрения физики тетива и струна одно и то же. Да и сделал человек струну, обратив внимание на свойства тетивы. А мы уже знаем, что звучащая струна колеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями, четвертями и так далее. Подойдем теперь к этому явлению с арифметической стороны. Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети втрое, четверти вчетверо. Словом, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько же раз больше частота ее колебаний. Допустим, вся струна колеблется с частотой 24 герца. Высчитывая колебания долей вплоть до шестнадцатых, мы получим ряд чисел, показанных в таблице. Эта последовательность частот так и называется натуральный, то есть природный, звукоряд. Колебание струн.
Начальное число 24 мы выбрали произвольно, чтобы удобнее было считать. При любой другой исходной частоте соотношения получатся одинаковыми, вы можете, если захотите, проверить это. И вообще в музыке важны прежде всего соотношения частот, а не их абсолютные данные, соотношения звуков между собой, а не численные выражения каждого звука. Это легко доказывается: некоторые песни вы наверняка слышали в исполнении и тенора, и баритона, при этом менялись абсолютные частоты звуков, могло измениться и ваше впечатление от разных голосов, но ни на йоту не исказилась мелодия, потому что соотношения ее звуков по высоте остались прежними.
Итак, колеблющаяся струна дала нам природный звукоряд. Вы можете возразить: мол, ни тетиву, ни струну нельзя считать природными телами, потому что их сделал человек. Хорошо, возьмем тогда безусловно природное тело полый ствол какого-нибудь растения. Мы не можем заставить столб воздуха в стволе колебаться неравными частями. Только целиком, или половинками, или третями и так далее. И если целый столб воздуха колеблется с частотой 24 герца, то половинки дадут 48 герц, трети 72и дальше все точно так, как в построенной нами таблице.таблице Природные тела. Фанфары.
С полым стволом растения можно сравнить фанфару, у которой, как мы успели выяснить, нет ни клапанов, ни вентилей, ни боковых отверстий. Играют на ней, следуя только законам природы заставляют столб воздуха колебаться различными долями. И если основной тон фанфары мы примем (условно!) за те же 24 герца, следующий будет 48. Музыкант никак не сможет выжать из фанфары звук с частотой между 24 и 48 герцами. Потом пойдет 72, 96 и так далее. Следовательно, природный звукоряд совершенно одинаков и для тетивы, и для струны, и для пустотелого ствола дерева, и для фанфары.
Присмотримся к нему внимательнее.нему Прежде всего определим границы октав, то есть отметим удваивающиеся числа. Это будут частоты, кроме начальной 24, которая служит левой границей, 48, 96, 192, 384. Между 24 и 48 никаких других частот нет. Между 48 и 96 появилась частота 72. Между 96 и 192 три частоты. А между 192 и 384 уже полная природная октава, то есть тот звуковой материал, который не нужно было и выбирать он дан готовым.
Возникает вопрос, с виду вроде бы малосущественный, но по сути очень важный. Почему мы ограничили натуральный звукоряд шестнадцатью элементами? Ведь струна, если иметь в виду идеальное физическое тело, может колебаться бесконечно малыми долями, а не только вплоть до шестнадцатых. Значит, и ряд теоретически можно продолжать бесконечно. На этот вопрос можно было бы ответить очень просто. Например, так: реальная струна отличается от идеальной тем, что имеет толщину, плотность и предельную длину, поэтому ограничено и число колеблющихся долей. Или так: ни на одном духовом инструменте не удается поделить колеблющийся в нем воздух больше чем на шестнадцать долей. Вопрос в звукоряде.
Но действительный ответ выглядит серьезнее. Дело в том, что существование натурального звукоряда стало известно гораздо позже, чем оформился определенный строй музыкальных инструментов. Человек, пока еще ничего не зная о подарке природы, интуитивно подстраивал струны между собой так, чтобы они создавали благозвучие. Если инструмент был оснащен грифом, то гриф этот поначалу делался гладким, без порожков, и музыкант просто скользил пальцем по струне как угодно. Но потом он нащупал точки, где звуки получались наиболее естественными, и оснастил эти места грифа порожками. И вот, когда люди открыли природный звукоряд, изучили его и сравнили с тем, что бытовал у музыкантов, оказалось, что полная природная октава, образуемая девятью последними частотами из шестнадцати, почти точно совпадает с октавой, найденной музыкантами самостоятельно. Ухо опередило научные исследования, и получается, что человек, занимаясь музыкой, и в самом деле бессознательно упражнялся в арифметике!
Вы скажете: а при чем здесь подарок, если он был получен с таким опозданием? И будете неправы. Ведь музыкальный слух, который помог интуитивно нащупать естественный звукоряд, тоже дар природы.
Мы отметили, что совпадение оказалось почти точным. В чем же заключалась разница? Взгляните на таблицу, в которой природная октава сравнивается с той, что была выработана человеком. Вы увидите, что музыканты от одной частоты природной октавы отказались совсем, а две частоты чуть-чуть изменили: в нашей таблице вместо 264 стало 256, а вместо Вот и все расхождения.таблицу Чем они вызваны? Очень важное «почти». Расхождение естественного от искусственного.
Музыканты обратили внимание на то, что сочетания некоторых трех звуков между собой воспринимаются особенно естественно и приятно. Потом выяснилось, что это были частоты, относящиеся друг к другу как 4:5:6. В природной октаве есть только одно такое сочетание в нашем примере это 192:240:288. музыканты настраивали свои инструменты так, что весь звукоряд превращался в сплошную цепь приятных для слуха трезвучий с соотношением частот 4:5:6. Чтобы убедиться в этом, выйдем за пределы нашей октавы, добавив справа и слева частоты из соседних октав. Как это сделать, вы уже, наверно, догадываетесь: вправо каждая восьмая частота удваивается, влево каждая восьмая делится на два. Правый конец нашей октавы восьмой звук от 192. Значит, следующая частота будет восьмой от 216, то есть 432. Левый конец октавы восьмой звук от 384. Следующий влево будет восьмым от 360, то есть 180. Придерживаясь этого правила, припишем слева еще три частоты. Теперь взгляните на получившуюся таблицу каждая частота в ней связана с двумя другими частотами соотношением 4:5:6.
Видите, как изменился природный звукоряд от небольших поправок, внесенных человеком! И сколько бы мы ни продолжали этот ряд вправо и влево, сколькими бы звуками ни обладал музыкальный инструмент, все они образуют непрерывную последовательность приятных для слуха трезвучий. Этот ряд, родившийся еще в Древней Греции, в разных странах называется хоть и по-разному, но удивительно схоже: в переводе на русский язык получается «согласие», порядок», «стройность» и даже «мир». А в самом русском языке такая упорядоченная последовательность звуков называется прекрасным словом «лад».
Какие бывают лады. Минор и мажор. История черных клавиш 3. Задолго до мажора и минора, история черных клавиш.
Взгляните на таблицу, в которой указано отношение каждой последующей частоты к предыдущей. Эти отношения неодинаковы. Если считать девять восьмых и десять девятых целым тоном, то шестнадцать пятнадцатых составят примерно половину целого тона. Значит, к ладу можно присмотреться и с другой стороны как к чередованию целых тонов и полутонов. Скажем, если взять в качестве начального звука частоту 192, то интервалы выстроятся так: тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон. А если начать считать с частоты 216, последовательность получится иной: тон, полутон, тон, тон, тон, полутон, тон. С какой бы частоты мы ни начинали отсчет, каждый раз чередование тонов и полутонов будет иным. И тут возникает интересное явление. Лад как соотношение частот един и неизменен.таблицу Какие бывают лады.
А лад как соотношение целых тонов и полутонов может и изменяться. Если мелодия начинается с частоты 192 это один лад, с частоты 216 другой, с частоты 240 третий и так далее. Каждому такому ладу греки дали свое название. Естественно, их было семь по числу звуков в октаве. Нам не обязательно приводить здесь эти названия, они есть в любой энциклопедии. Запомним только лидийский лад в нашем примере он начинался бы с частоты 192.
Уже греки знали, что лад это не просто формальное чередование тонов и полутонов. Менялся от этого и характер музыки от нежного, лирического до сурового, мужественного. Во всяком случае, так считали древние музыканты. Но шло время, и постепенно композиторы все реже и реже стали употреблять греческие лады в их исконном виде. Осталось лишь два основных лада, да и то изменились их названия: теперь мы знаем только мажор и минор. Главное отличие этих ладов таково: у мажора первый полутон идет третьим по счету от начального звука, а у минора вторым.
Обычно считают, что минор это обязательно грустный лад, а мажор непременно бодрый, радостный. Это не совсем так. Достаточно вспомнить, что развеселое «Яблочко» написано в минорном ладу, а скорбная «Аве, Мария» в мажорном. Но что характер у мажора и минора разный это бесспорно. Однако вернемся к древним грекам и посмотрим, как лад привел музыканта к конфликту со своим инструментом. Конфликту, который не разрешен окончательно до сих пор. Минор и мажор.
Допустим, играл музыкант мелодию в лидийском ладу, начиная, как и положено, с частоты 192. Но вот ему захотелось сыграть ту же мелодию повыше, начав ее, скажем, с частоты 216. Разумеется, древний музыкант мог не иметь никакого представления о частотах просто захотелось начать с другой струны, чтобы получилось повыше. В лидийском ладу полутон должен идти третьим по счету, он и шел третьим, пока мелодия начиналась с частоты 192. А теперь, когда ее начали повыше, на инструменте в этом месте никакого полутона не оказалось. Третьим шел целый тон. Досадно, правда? Семи струн в октаве хватает для исполнения любой мелодии, но при этом не с каждой струны можно ее начать. Надо было что-то придумывать.
19/85/44/33/25/315/ /85/44/33/25/315/82
В очередной таблице определено отношение каждого звука лада к начальному, если этот начальный принять за единицу. Указаны и названия интервалов по отношению к начальному звуку, они же определяют место каждого звука в октаве. Пусть вас не пугают незнакомые термины, они переводятся и запоминаются легко: «прима» первый, «секунда» второй, «терция» третий, и так вплоть до октавы которая означает «восьмой». Повторю, что лад это прежде всего соотношения, а не сами частоты. В других октавах частоты иные, но соотношения остаются теми же. Квинта, например, всегда будет составлять три вторых от примы, то есть от начального звука, терция всегда пять четвертых, кварта всегда четыре третьих, октава всегда ровно два.таблице История черных клавиш
Теперь арифметически проанализируем неудачную попытку древнего музыканта начать лидийскую мелодию с другой струны. Естественно, ему нужно было сохранить соотношения. Возьмем в качестве основного звука частоту 216 и выстроим звуки согласно тем же соотношениям, которые получались от частоты 192 Это сделано в следующей таблице. Мы увидим, что в пределах нашей октавы появились четыре новых частоты. Инструменту с гладким грифом это не страшно: можно зажимать струны в любом месте и тем самым сохранить нужные соотношения. А инструменту наподобие арфы, в котором каждый звук издается отдельной струной? Нужно добавлять новые струны.таблице
Если взять в качестве начального звука мелодии частоту 216,а не 192, и сохранить прежние отношения, понадобятся новые звуки, которыми инструмент пока не располагает. Это еще полбеды четыре новых струны. Но музыкант хотел бы иметь возможность начинать мелодию в любом ладу с любого звука октавы. И он стал прибавлять новые струны на своем инструменте, дошел до двух с лишним десятков в каждой октаве и остановился, здраво рассудив, что таким путем задачу не разрешить. Сейчас подсчитано, что, если бы древний грек последовательно дошел до конца, ему нужно было бы иметь в каждой октаве восемьдесят пять струн. Может быть, ценой невероятных усилий он и научился бы играть на таком инструменте, но уж очень это казалось обидным: мелодии хватает семи звуков в октаве, а все остальные нужны лишь для того, чтобы можно было начинать любую мелодию с любой струны.
И древние музыканты нашли компромиссное решение. Они добавили новые звуки только там, где интервал между основными звуками равнялся целому тону. Не разделили целые тона пополам, нет, ведь это неделимые элементы лада, а просто ввели вспомогательные звуки. Вглядитесь в очередную таблицу не напоминает ли вам расположение новых звуков черные клавиши фортепиано? Так оно и есть. Вот откуда происходит форма клавиатуры от древних греков, хотя они и понятия еще не имели в то время о клавиатуре вообще и тем более о клавиатуре в том ее виде, в каком она делается на современных инструментах. И до сих пор у этих вынужденно введенных дополнительных звуков нет собственных названий, а именуются они, например, «до-диез», что означает «выше до», или «ми-бемоль», то есть «ниже ми» Причем один и тот же дополнительный звук можно назвать двояко. Если, скажем, он стоит между соль и ля, это и соль-диез, и ля-бемоль.таблицу
/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15 В тех местах, где интервалы составляет целый тон, древние греки добавили вспомогательные звуки. Вот откуда происходит форма клавиатуры фортепиано.
Выходит, вся эта история с пятью дополнительными звуками в октаве началась только из-за того, что древние музыканты захотели свободнее переходить из тональности в тональность и из лада в лад? Да, только из-за этого. Самому ладу вполне хватает семи звуков в октаве. И если в какой-то местности бытует одна тональность, то есть в основе мелодии всегда лежит один и тот же начальный звук, то инструмент здесь по-прежнему может обходиться семью звуками в октаве, как прекрасно обходятся до сих пор некоторые гармошки, народные духовые и струнные инструменты.
Но добавление пяти звуков, увы, не до конца решило проблему. Соотношения между соседними звуками все равно оставались разными, искусственно введенные полутона не были равны исконным полутонам лада, поэтому не из любой тональности в любую можно было переходить легко и просто. И тут мы обязаны вспомнить одного выдающегося грека.
Связь музыки с математикой - одна из древнейших.Связь музыки с математикой - одна из древнейших. Числовые закономерности. Ритм. Новая эра. Чувства и числа. 5. Тайные танцы чисел.
СВЯЗЬ музыки с математикой - одна из древнейших. В самом широком смысле можно сказать, что весь мир - это музыка, потому что музыка - это математика. На подчиненность музыкальных структур математическим законам люди обратили внимание не одно тысячелетие назад. Профессиональные музыканты первых веков нашей эры, получавшие образование по "квадривию", четверке "высоких" математических наук, в число которых входила и музыка, были очень хорошо знакомы и с математикой, и с геометрией, и с астрономией, изучая труды Никомаха, Евклида и в чуть более позднее время Боэция. Связь музыки с математикой - одна из древнейших.
В течение практически всего средневековья музыканты пользовались числовыми закономерностями, в том числе знаменитыми "числами Фибоначчи", для придания своим произведениям геометрической стройности. Интересно то, что периодом наибольшей удаленности от "научно-художественных" установок музыкального искусства стала как раз Венская классика. Не случайно в трагедии Пушкина "Моцарт и Сальери" четко выражено негативное отношение к позиции Сальери, который "поверил алгеброй гармонию", будучи, как выясняется, хранителем древних традиций и знаний, в отличие от венского классика Моцарта. Числовые закономерности.
Двадцатый век снова заставил композиторов обратиться к математике. Уже Стравинский и Скрябин снова стали экспериментировать с "числами Фибоначчи" и пытаться выстроить художественную форму в соответствии с пропорциями так называемого золотого сечения. В 60-е годы на сцену истории музыки вышли такие композиторы, как Эдисон Денисов, в буквальном смысле пришедший в музыку из математики, и София Губайдулина, которые "научно доказали" неправоту негативистского отношения Пушкина к музыке, проверенной законами математики и астрономии.
С начала восьмидесятых годов прошлого века и по сей день София Губайдулина называет все свои произведения "аналитическими этюдами", экспериментируя с цветом, звуком и ритмом. На ритм Губайдулина всегда обращала особое внимание, как, впрочем, почти все композиторы XX века, и не только академисты. Однако ритм в понимании Губайдулиной, лучше даже сказать, в мироощущении, - это совсем другое и гораздо более широкое понятие, чем в джазе или в роке и во всей афро-американской современной музыкальной культуре. Более того, Софии Губайдулиной принадлежит собственная концепция истории мировой музыки, с присущим ей строго научным подходом выраженная в трех таблицах, которые к тому же представляют собой кольцо. Эту концепцию автор данной монографии Валерия Ценова называет "Три дерева Губайдулиной". Здесь надо обратить внимание на общность использования лексико-семантического варианта слова "дерево" в концепции Губайдулиной и в компьютерном программировании. Новая эра.
Три основные составляющие музыкальной ткани (гармония, мелодия, ритм) уподоблены композитором трем основным составляющим дерева (листья, ствол, корни). И если до XVII века корнем является мелодия, а ритм только стволом, то в музыке XVII-XIX веков корнем становится уже гармония, стволом - мелодия, а ритм смещается в область листьев. Музыкальное дерево XX века выглядит так: листья - мелодия, ствол - гармония, корень - ритм. Само собой разумеется, что к эстрадной музыке это не относится ни в коей мере, поскольку ее основой, как и пятьсот лет назад, по-прежнему является песня со всеми вытекающими отсюда соотношениями листьев, корня и ствола.
Однако, учитывая, что концепция Губайдулиной - это кольцо, а передовая современная поп-музыка давно уже использует чуть ли не более серьезные технические средства и математические расчеты, чем музыка академическая, да и разница между отдельными произведениями, условно относимыми к "поп-культуре", и произведениями, не менее условно относимыми к современной элитарно-академической музыке, исчезает на глазах, можно сделать вывод, что XXI век - это уже новая эпоха, по сравнению с веком минувшим. И в соответствии с кольцевой концепцией Губайдулиной, первый круг благополучно пройден. Хотя, конечно, мелодия, гармония и ритм претерпели такие колоссальные изменения, что, несмотря на возврат к средневековому соотношению этих элементов, сумма выглядит уже совсем иначе, ибо под X, Y и Z, подставленными в старое уравнение, скрываются уже качественно иные величины.
Огромный вклад в изменение, а точнее, в обновление (тоже почти компьютерный термин) понятия ритма как такового внесла и София Губайдулина. Новизна ее ритмической концепции состоит прежде всего в том, "…что она выдвигает на первый план важнейшую проблему самого коренного свойства музыки - времени как такового. В каждом из своих произведений последнего десятилетия Губайдулина создает "индивидуальный ритмический проект" (ИРП), хотя и типологически единый". Безусловно, числовые аспекты творчества великого композитора наших дней не являются единственной и основной составляющей ее творческой индивидуальности. Сама София Губайдулина говорит об этом так: "…обязательно должна быть структура, обязательно должна быть сильная, волевая формальная работа при ужасающем, беспощадном душевном переживании". Ритм.
Попытаемся расшифровать эту мысль: "… числовые структуры, в конечном счете, предельно экспрессивны, только экспрессия эта не непосредственно чувственная, а скрытая. Возникает аналогия с архитектурным строением старинных соборов. Нередко в их основу был положен крест, и на нем покоилось все здание. Этот крест метафизически освящал храм, но не был виден; ощутить и пережить его можно было только духовно". Софии Губайдулиной удается "поверить гармонию алгеброй", и здесь, в который раз, происходит обыкновенное чудо. Выясняется, что чувство - это всего лишь число, но и число иногда может быть чувством, потому что мир един. Чувства и числа.
Сила самопорождения. Логики и музыковеды. Музыка как чистая игра форм. 6. Сходства математики и музыки.
Связь математики и музыки засвидетельствована с древнейших времен, и уже в пифагорейских кругах она представляла собою основу всякого миропонимания. В средневековом квадривиуме наук музыка занимала место своеобразной математической дисциплины, но поскольку сама математика мыслилась при этом не как условное умственное построение, свободное от каких- либо метафизических обязательств, но существенно онтологически, как сокровенная структура миропорядка, то соответственно и музыка оказывалась лишь одной из специфически оформленных частей предмета онтологии. Во всяком случае о связи между ними говорит уже то особое место, которое отведено им в градации наук и искусств. Обе тем и отличаются от прочих наук и искусств, что максимально отвлечены от всего внешнего и определяются силою самопорождения. Сила самопорождения.
Обе так или иначе занимают царственное место в градации, и служат явным или тайным образцом для подражаний, вплоть до прямого заимствования ряда их специфических приемов, так что можно смело сказать, что совратительная сила музыки в отношении прочих искусств нисколько не уступала неотразимости математики в ее контактах с прочими науками. Связь математики и музыки котируется при этом не только аналогией внешнего сходства, но и гомологией внутреннего сродства, т.е. наряду с функциональной равноценностью здесь наличествует также и морфологическая равноценность: ухо – этот музыкальный орган par excellence – находится в прямом отношении с органом равновесия, или чувством ориентации в пространстве; именно во внутреннем ухе расположены под прямым углом друг к другу три полукружных канала, благодаря которым человек получает способность ощущать измерения пространства и с которыми непосредственно связана математическая способность.
Характерно, что и музыка не избежала участи, отмеченной нами выше в связи с математикой, и – что интереснее – не избежала по тем же причинам. Расселовское определение математики может быть буквально перенесено на музыку: музыкант – это человек, который никогда не знает, о чем он говорит (музыкальными звуками), и не знает, истинно ли то, что он говорит. Поучительно было бы сравнить эту ситуацию с нормой прежних времен, где действительным музыкантом считался тот, "кто по тщательном разумении приобрел знание музыки не рабством дела, а силой созерцания" (Боэций. "Institutio musica". 1, 34; перевод Г.Г. Майорова). Логики и музыковеды.
И как в случае математики спасти положение взялись логики, так и здесь "узнать" музыку вознамерились... музыковеды. Ответы в основном были двоякого рода: формальные или восхитительно "содержательные". Во втором случае на музыку распространяли критерии, внешне "работающие" в критической обработке других форм искусства, по упомянутой уже нами ранее модели: "Что хотел сказать Лев Толстой..."? (поразительно, но вот уже почти ежедневным стало чудо, когда противоударно уверенные наставники и бойкие их ученики договаривают за Толстого то, что он хотел сказать, но так и не сказал до конца по причинам, надо полагать, вполне "мистическим").
Музыкальная проекция этой модели обнаружила феномены не менее завидной "расшифровки": выяснилось, например, что ранний Бетховен перелагал на музыку апокалиптические будни парижского Конвента – ситуация, скажем прямо, не лишенная прелести, но, как всякая прелестная ситуация, спровоцировавшая контраст, выражением которого стал "формальный" подход. Здесь математика, разумеется, еще раз оказала исключительную услугу, передав арсенал своих средств растерянным музыковедам, которым пришлось в дополнение к собственному профилю "экстерном" осиливать школьные учебники по арифметике и вспоминать таблицу умножения. Против дидактической банальности выступила утонченность снобизма. Ответом на псевдознание стал отказ от знания.
Музыка как чистая игра форм. Еще одна грамматически исследованная, но непрочитанная книга. "Я определяю какие-то знаки и даю правила их комбинирования, вот и всё". Кто это говорит: музыковед? Нет, это говорит математик; музыковед лишь повторяет это "вот и всё". Всё ли, однако? А как быть вот с этим: "Они играли Крейцерову сонату Бетховена, – продолжал он. – Знаете ли вы первое престо? Знаете?! – вскрикнул он. – Уууу!.. Страшная вещь эта соната. И именно эта часть. И вообще страшная вещь музыка! Что это такое? Я не понимаю. Что такое музыка? что она делает? и зачем она делает то, что она делает?" (Л. Толстой. Крейцерова соната). Игра форм. Пусть так. Но как быть с значительностью, ошеломительностью, аорторазрывностью этих форм!.. Музыка как чистая игра форм.
Когда из Компьена в Париж привезли первый в Европе орган, подаренный в VIII веке византийским императором Константином Копронимом франкскому королю Пипину Короткому, одна женщина, услышав музыку этого органа, умерла от потрясения. Что же, собственно, ее потрясло? Правила комбинирования звуков? Может быть. Поистине, лира Орфея завораживала не только зверей, но и камни, и даже владыка Смерти не устоял перед ее чудом.
Список литературы. С. Газарян. « В мире музыкальных инструментов». Москва. «Просвещение». 1985г rl=page25.htm 15/4_dances.html Оглавление.