Фестиваль исследовательских работ ЦИК Кировского района Санкт - Петербурга Построение сечений многогранников

Костомясова Вероника Игоревна ученица 10 а класса ГОУ СОШ 244 Кировский район Научный руководитель: Найденова Елена Юрьевна Санкт – Петербург 2009 год

Актуальность темы: Тема актуальна потому, что даже после её изучения в пределах школьной программы, остаются вопросы, связанные с дополнительным исследованием. Цель работы: Исследовать построение сечений многогранников через решение задач. Основополагающий вопрос: «Каким образом возможно построение сечений многогранника?»

Понятие многогранника Правила построения сечений Пирамида и её сечения Тетраэдр и его сечения Параллелепипед Куб и его сечения Мир сечений Заключение Источники информации

Многогранник – это геометрическое пространственное тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников. Гранями многогранника называются многоугольники, ограничивающие многогранник (грани - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). Ребрами многогранника называются общие стороны смежных граней (ребра - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). Вершинами многогранника называются вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящимися в одной точке. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани (BN). Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани (плоскость BEN). А BC D FE NM

Правильные многогранники Правильный многогранник ( Платоново тело ) – это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Существует всего пять правильных многогранников : тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. октаэдр тетраэдр додекаэдр икосаэдр куб

Правила построения сечений многогранников методы следов метод вспомогательных сечений плоскостей метод внутреннего проецирования (как частный случай метода вспомогательных плоскостей Построить сечение многогранника, значит указать последовательность действий, с помощью которой можно по изображению данного многогранника на плоскости построить изображения следов искомой плоскости на всех его гранях. 1. Если секущая плоскость проходит через две точки, лежащие в плоскости грани многогранника, то ее след, на данной грани есть прямая, проходящая через эти точки. 2. Если секущая плоскость параллельна ребру двугранного угла, то следы секущей плоскости на гранях этого двугранного угла - это две прямые, параллельные его ребру. 3. Следы секущей плоскости на параллельных гранях многогранника есть параллельные прямые. 4. Если секущая плоскость не параллельна ребру двугранного угла, то следы секущей плоскости на гранях этого двугранного угла - это две прямые, пересекающиеся в точке на ребре.

5. Если секущая плоскость параллельна данной прямой, то ее следом на плоскости, содержащей эту прямую, является прямая, параллельная данной. 6. Следом секущей плоскости, параллельной другой плоскости, является параллельная этой плоскости прямая. А B C D L N M K D AC B K L M E F P A B C D K M P P R T L F V Метод вспомогательных плоскостей Метод следов Метод внутреннего проектирования N

M P Q Е F G H P Q Е F G H Пирамида и её сечение Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центре этого многоугольника. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Тетраэдр и его сечения Задача 1. Постройте сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки K, L, M. Решение B A D C KM L P B A D C M K L P Проводим в плоскости ABD прямую KL (« след » плоскости сечения ). Обозначим через P точку пересечения KL с BD. Затем проводим прямую PM, получаем точку N и достраиваем сечение. N

Задача 2 Рассмотрим более сложный случай, где сразу построить «след» плоскости сечения в какой-то из граней нельзя. D A C B EF L M K A C B EF L M K P A C B E F L M K P Рассмотрим вспомогательную плоскость BMK. Строим в этой плоскости прямую KM (« след » сечения ). Обозначим через P точку пересечения прямых KM и EF. D D N Точка P лежит в плоскости сечения и в плоскости ADC. Но в этой же плоскости лежит и точка L. Проводя прямую LP – « след » сечения в плоскости ADC, получаем точку N и достраиваем сечение.

Параллелепипед Некоторые свойства : У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делят его пополам. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер.

Задача на построение сечения параллелепипеда Задача 3 Отметьте точки M, K, P на ребрах A1B1, BC, DD1 параллелепипеда ABCDA1D1C1D1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью MKP. Решение Искомое сечение изображено на рисунке. Вначале строим прямую ME, параллельную боковому ребру параллелепипеда. X – общая точка плоскостей сечения и основания, так как принадлежит одновременно прямым MP и ED. Точка T строится как пересечение прямых KX и DC. Отрезки HM и MO строятся, исходя из параллельности противоположных граней параллелепипеда. В случае, если прямые MP и ED не пересекутся, прямая KT проводится параллельно прямой MP.

Сечения куба

Сечения плоскостью симметрии куба

А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F G H Задача на построение сечения куба Задача 4 Дан куб A B C D A1 B1 C1 D1. На ребрах куба заданы точки R, P, Q. Требуется построить сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки.

Первым свойства правильных многогранников описал древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называют также телами Платона. Платон 428 – 348 г. до н.э.

Архимед 287 – 212 гг. до н.э. Это многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр, усечённый икосаэдр. Архимед описал полуправильные многогранники

« Мир сечений » « Обитатели даже самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника.» М. Гарднер

правильного тетраэдра плоскостью симметрии Сечение

Все возможные траектории движения космических аппаратов представляются сечениями конуса плоскостью

Сечения кристаллов плоскостью симметрии Ставролит (двойник)

Кальцит ( двойник )

Усеченный тетраэдр Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Усеченный тетраэдр получится, если у тетраэдра срезать его четыре вершины.

Кубооктаэдр Можно срезать вершины иначе. Получим кубооктаэдр. У кубооктаэдра можно снова срезать все его вершины получим усеченный кубооктаэдр.

Усеченный куб Срезав вершины получим новые грани – треугольники. А из граней куба получатся грани – восьмиугольники. Усеченный куб получится, если у куба срезать все его восемь вершин.

Усеченный октаэдр Срежем у октаэдра все его восемь вершин. Срезав вершины получим новые грани – квадраты. А из граней октаэдра получатся грани – шестиугольники.

Икосододекаэдр Ромбоусеченныйикосододекаэдр Срезав вершины икосаэдра, получим новые грани пятиугольники, а грани икосаэдра превратятся в шестиугольники. Усеченныйикосаэдр (футбольный мяч) Срезав вершины иначе получим другой многогранник, грани которого – пятиугольники и треугольники.

Усеченный додекаэдр С додекаэдром работы больше. Надо срезать двадцать вершин. Грани усеченного додекаэдра – треугольники и десятиугольники.

Курносый куб Курносый додекаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбокубооктаэдр

Заключение Осенью 2008 года десятые классы нашей школы участвовали под руководством моего научного руководителя в проекте по геометрии « Сечения многогранников ». Всеми учащимися была проделана большая работа в течение двух месяцев. На заключительном этапе были подведены итоги. Я очень увлеклась этой работой, поэтому для своего исследования я выбрала данную тему. Потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, хотелось бы получить более широкие знания о способах решения задач.

В своей работе я попыталась изучить и раскрыть некоторые проблемы и задачи построения сечений многогранников. В моём исследовании представлены необходимые теоретические положения изучения этого вопроса, а также различные способы решения задач. Представлены чертежи поэтапного построения сечений. Особенно наглядно это можно наблюдать в электронном виде и анимации, что позволяют возможности компьютерных технологий. И, в заключении, я хотела бы сказать, что для досконального изучения материала исследовательская работа подходит лучше всего. Мне представилась возможность поработать с интересной для меня темой геометрии и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 10 класса. Прочитав и изучив другие источники информации, я узнала много нового и, как я считаю, важного для меня.

Источники информации : Программная среда «Образовательная коллекция. Стереометрия 10-11». Атанасян Л.С. Геометрия Учебник для ОУ. М.:Просвещение г. «Детская энциклопедия», том 2 - Просвещение, Москва Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии.7-11 классы. - СПб г. Зив Б.Г, Мейлер В.М, Баханский А.Г. Задачи по геометрии 7-11, Москва «Просвещение» И. Ф. Шарыгин Геометрия – Дрофа Интернет-ресурсы:

СПАСИБО З А В НИМАНИЕ