Элективный курс для 10 класса. Семинар для учителей математики ЮВУО г. Москвы 2010 год.

Пояснительная записка Спецкурс «Векторный метод в стереометрии» рассчитан на учащихся 10 класса, которым предстоит через два года сдать ЕГЭ по математике. В вариантах задач ЕГЭ представлены две задачи по геометрии: одна по стереометрии повышенного уровня сложности, одна по планиметрии высокого уровня сложности. Именно о таких задачах и будет вестись речь на занятиях спецкурса. Изложенные в курсе методы позволят эффективно решать такие задачи даже при недостаточно развитом пространственном воображении. Курс « Векторный метод в стереометрии» призван способствовать выработке умения использовать мощный и универсальный арсенал методов векторной алгебры для решения большинства основных типов задач по стереометрии, встречающихся в школьной и абитуриентской практике. Не секрет, что эти задачи порой являются камнем преткновения даже для сильных учащихся: время, отводимое на изучение стереометрии, часто оказывается недостаточным и не позволяет должным образом развить пространственное воображение, без которого чисто геометрическое решение задачи вызовет непреодолимые затруднения. Во многих случаях векторы позволяют компенсировать указанный недостаток и помогают даже не слишком сильным ученикам находить решения довольно трудных задач, поскольку рассматриваемые методы хорошо усваиваются подавляющим большинством учащихся.

Планирование спецкурса «Векторный метод в стереометрии» занятия Тема занятия Дата 1 группа Дата 2 группа Дата 3 группа 1Основные теоретические сведения векторной алгебры Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Задачи об отношениях отрезков Длина отрезка. Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до плоскости Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя плоскостями Расстояние между скрещивающимися прямыми Касание сферы с ребрами и гранями трехгранного угла Сфера, описанная около тетраэдра Контрольная работа

Найти косинус угла между прямыми В кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 найдите косинус угла между прямыми АВ и СА 1. Решение: С(0;0;0) А 1 (1;1;1) => СА 1 {1;1;1} А (1;1;0) В (0;1;0) => АВ {-1;0;0} А В С D B1 А1А1D1 C1 x z y Ответ: 1/3

Решение: Введем базисные векторы SA = a, SB = b, SD = c. SE + EA = SA EA = SA – SE = a – 0,5c Таблица умножения базисных векторов имеет вид В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SD. Найдите косинус угла между прямыми SB и АЕ. AB D C E S b c a abc a11/2 b 10 c 01 Угол между скрещивающимися прямыми Ответ: 1/3

Угол между скрещивающимися прямыми Решение: Пусть базисные векторы РА=а, РВ=b, PC=c Таблица умножения базисных векторов имеет вид: Точки D и Е – середины ребер ВС и РВ правильного тетраэдра РАВС соответственно. Найдите угол между прямыми АD и СЕ. А B C P E D c a b abc c11/2 b 1 c 1 Ответ: arccos 1/6

Задачи об отношениях отрезков На ребрах DA, AB, BC тетраэдра DABC взяты точки М, Р, К соответственно, причем DM:DA=13:27, BP:BA=3:5, CK:CB=1:4. Плоскость МРК пересекает ребро DC в точке Т. Найти отношение CT к TD. Решение: Введем базисные векторы DA=a, DB=b, DC=c. Обозначим |CT|=x. Тогда вектор CT=x*CD=x*(-c), с другой стороны CT=CK+KM+MT B A D C O M P T K b a c 1 - x B x Ответ: CT:TD= 7:13

Спасибо за внимание!