Арифметические основы вычислительной техники Системы счисления

Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила - Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно…. Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. (А. Стариков) Догадались? Так сколько же лет было девочке? Ответ: 12 лет

Система счисления – способ записи чисел с помощью определенного набора знаков. Следы систем счисления сохранились в языках многих народов, в денежных системах и системах мер. Примеры: 1.12-теричная СС. Англия. Наборы посуды на 12 персон. 1 фут = 12 дюймам1 шиллинг = 12 песо теричная СС. Западная Европа, Франция, кельты, 2 тыс. лет до н.э. 1 франк = 20 су теричная. Древний Вавилон. 1час = 60 мин

Виды систем счисления: 1.Позиционные – значение числа зависит от порядка записи цифр в числе: 325 и Непозиционные – значение числа не зависит от порядка записи цифр в числе. Пример: Римская СС I, V, X, L(50), C(100), D(500), M(1000)

Позиционные системы счисления Основание (базис) СС – количество цифр для записи чисел , 432 8, A1F 16 Преимущества позиционных СС: 1.Возможность записи больших чисел с помощью сравнительно небольшого числа знаков 2.Простота и легкость выполнения арифметических операций

Эквивалент записи чисел в системах счисления по основанию А A=10A=2A=8A= A B C D E F

I. Представление чисел в различных СС и перевод их в десятичную СС 1 · · · Десятичная СС = · · · , = · · · · · · Двоичная СС = ·2 5 +1· ·2 3 +1·2 2 +0·2 1 +1· Восьмеричная СС = · · · теричная СС 1AE 16 = = =53 10 = = = =430 10

Запись числа в системе счисления с основанием b C b = a 1 a 2 …a n-1 a n C b =a 1 ·b n + a 2 ·b n-1 +…+a n-1 ·b 1 + a n· b 0 где 0 ai

Схема Горнера Арифметические действия выполняются в той СС, в которую переводим число = ? = В первой строке записываем число, которое необходимо перевести. В нижней строке получаем число в нужной СС. Для этого первую цифру перепишем без изменения, а под каждой следующей цифрой будем писать число, полученное сложением этой цифры с произведением слева стоящего числа на основание СС

II.Перевод чисел из десятичной СС в другие СС 1. В двоичную СС = ? 2 29 | | | | = В восьмеричную СС =? 8 29 | = В 16-теричную СС =? | =1D 16

III. Перевод чисел с произвольным основанием СС (транзитом через десятичную) 34 5 = ? 7 1) 34 5 = 3· ·5 0 =15+4= ) 19 | = = 25 7

IV. Преобразование чисел в двоичной, восьмеричной и 16-теричной СС 1.Из двоичной в восьмеричную СС 2 3 = = = Из двоичной в 16-теричную 2 4 = =1D6 16 C2F 16 =

IV. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую Алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q: 1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. 3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 3. Перевести число 0, в шестнадцатеричную систему счисления. Ответ: 0, =0,А8 16 0,65625 × (А) × Пример 1. Перевести десятичную дробь 0, в двоичную систему счисления. 0, 5625 × × × × Ответ: 0, =0, Пример 2. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь ,0, 7 × × × × 2 1…1… 2 … Ответ: за четыре шага получаем =0,1011 2,

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд. 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=10 Пример. Сложить двоичные числа: , , ,101

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде. 0-0=0 0-1= 1-0=1 1-1=0 Пример. Выполнить вычитание двоичных чисел: , ,1 = , , , ,0

Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. 0·0=01·0=00·1=01·1=1 Пример × 1101 = 11001,01 × 11,01 = ,01 × 1101 × 11, , ,0001

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Пример. Выполнить деление двоичных чисел: : 1101 =

Сложение в других системах счисления. Таблица сложения в восьмеричной системе счисления:

Вывод: В двоичной СС все операции можно заменить сложением, следовательно, все вычисления в компьютере сводятся к сложению двоичных чисел. Это обеспечивает простоту конструирования, большую скорость работы и надежность устройств ЭВМ

Задачи 1.Какое минимальное основание имеет СС, если в ней записаны числа: 123, 222, 111, 241? Ответ: мин. основание = 5 2. В классе 1000q учеников, из них 120q девочек и 110q мальчиков. В какой СС ведется счет учеников? q 110 q 1000 q Ответ: q= 3, т.к. в троичной СС 2+1=10

Представление чисел в компьютере Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в оперативной памяти в виде последовательностей нулей и единиц, т.е. в двоичном коде.

Представление чисел в формате с фиксированной запятой Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки. Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит). Например, число A 2 = будет хранится в ячейке памяти следующим образом: Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно: 2 n

Пример 1. Определить диапазон чисел, которые могут хранится в оперативной памяти в формате целое неотрицательное число. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми ячейках памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми единицам, хранящимся в ячейках памяти и равно: A = = – 1 = Диапазон изменения целых неотрицательных чисел чисел от 0 до 255.