Понятие движения. автор: Ансимов Николай 9 «А» класс

Самыми важными являются такие преобразования фигур, при которых сохраняются все их геометрические свойства: расстояния между точками, углы, площади, параллейность прямых и отрезков и т. д. Для этого достаточно потребовать только сохранения расстояний между точками данной фигуры. Тогда у полученной после преобразования фигуры сохраняются и все геометрические свойства, поскольку они зависят только от расстояний.

Определение: преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением данной фигуры. Говорят, что фигура F* получена движением фигуры F, если любым точкам X и Y фигуры F* сопоставляются такие точки X* и Y*, что X*Y*=XY.

Y X F X* Y* F*

Свойства движений Теорема:Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Доказательство: Пусть движение переводит соответственно точки A, B, С в точки А*, B*, C*. Тогда выполняются равенства: AB=A*B*, AC=A*C*, BC=B*C*. Т. к. точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими. Пусть, например, точка В лежит между точками А и С. В этом случае, согласно неравенству треугольника для трех точек А, В, С, лежащих в указанном порядке на одной прямой, получим: АВ+ВС=АС, следовательно А*В*+В*С*=А*С*. А это равенство и означает, что А*, В*, С* лежат на одной прямой, причем точка В* лежит между точками А* и С*. Теорема доказана.

Следствие: При движении прямые переходят в прямые, лучи – в лучи, отрезки – в отрезки. А В Х А* В* Х* Х О Х* О*

Преобразование фигур Приведем простой пример. Введем прямоугольную систему координат и каждой точке М (х;y) сопоставим точку М* с координатами х*=х и y*=ky, где k 0- некоторое число. Получим преобразование плоскости, которое, как вы знаете из курса алгебры, называется сжатием по оси 0y c коэффициентом k 1. Если k 1, то его называют растяжением.

Х х0 ky y М(х;y) М*(х;ky)

Теорема: треугольник движением переводится в равный ему треугольник. Доказательство: дан треугольник АВС со сторонами АВ, АС и ВС. Докажем сначала, что точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки А*, В*, С* также не лежащие на одной прямой. Предположим, что точки А*, В*, С* лежат на одной прямой. Тогда одна из них, например, точка В*, лежит между двумя другими. Но если точка В* лежит между А* и С*, то А*В*+В*С*=А*С*. Т. к. при движении отрезки переходят в отрезки, то движение переводит отрезки АВ, АС и ВС в отрезки А*В*, А*С* и В*С*, причем А*С*=АС, А*В*=АВ, В*С*=ВС.

Из А*В*+В*С*=А*С* и А*В*=АВ, А*С*=А*С*, В*С*=ВС следует что АВ+ВС=АС. Но это равенство означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, что противоречит условию, согласно которому АВС-треугольник. Аналогично доказывается, что точки А*, В*, С* не лежат на одной прямой. Следовательно в результате движения треугольника АВС получаем треугольник А*В*С*. Т. к. движение переводит отрезки АВ, АС и ВС в отрезки А*В*, А*С* и В*С* причем А*В*= АВ, А*С*=АС и В*С*=ВС, то АВС=А*В*С* по трем сторонам. Теорема доказана.

А В С А* В* С*

КОНЕЦ!КОНЕЦ!