МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОЦЕДУРЫ ИЗБАВЛЕНИЯ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ Выполнил: Александров Иван Выполнил: Александров Иван Руководитель: Васина Галина Сергеевна Руководитель: Васина Галина Сергеевна Лицей 393 с углубленным изучением математики

КОЛЬЦА. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Z Кольцо – это множество, на котором заданы две алгебраические операции: сложение и умножение, со следующими свойствами: Коммутативность сложения a + b = b + a Ассоциативность сложения a + (b + c) = (a + b) + c Нейтральный элемент относительно сложения. a + 0 = 0 + a = a Существование противоположного элемента a + b = b + a = 0 Дистрибутивность a (b + c) = ab + ac

КОЛЬЦА. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Z Кольцо также может обладать и другими свойствами: Ассоциативность умножения a (bc) = (ab) c Наличие единицы a × 1 = 1 × a = a Коммутативность умножения ab = ba Отсутствие делителей нуля Если ab = 0, то a = 0 или b = 0

КОЛЬЦА. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Z a + x = b Корень: x = b – a x Є N, если b > a

ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Q Поле – это множество, на кото- ром заданы две алгебраические операции: сложение и умножение, с определенными свойства-ми. К ним относятся все перечисленные ранее свойства колец, но главное отли-чие поля в наличии обратного элемен-та a -1.

bx = a Корень: x = Корень: x = ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Q

R R[x]R – кольцо Q Q[x]Q – поле, Q[x] - кольцо x 2 – 2 = 0 - корень уравнения - корень уравнения Q Q[ ] Q [ ] = a 0 + a 1 + a 2 ( ) = a + b Q [ ] = a 0 + a 1 + a 2 ( ) = a + b ПОСТРОЕНИЕ НОВОГО КОЛЬЦА ИЗ ПОЛЯ Q

Q [ ] = a 0 + a 1 + a 2 ( ) = a + b Q [ ] = a 0 + a 1 + a 2 ( ) = a + b 1 _ a – b _ 1 _ a – b _ a + b ¯ a 2 – 2b 2 ¯ Q [ ] = Q ( ) ДЕЛЕНИЕ В КОЛЬЦЕ Q [ ] a 1 + b 1

X = 0 i – корень уравнения (i 2 = -1) Q Q[i] КОЛЬЦО Q[i]

X = 0 i – корень уравнения (i 2 = -1) R – поле действительных чисел R R[i] R[i] = C – поле комплексных чисел ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ C