Разработала: Вандышева Таня средняя школа а класс Руководитель: Бучнева Лариса Николаевна Г. Искитим 2006год

1. Обобщить и систематизировать свои знания по теме «Логарифмы»; 2. Расширить свои знания по данной теме; 3. Получить хорошую оценку по алгебре; 4. Более углубленно изучить работу с программой Microsoft PowerPoint.

Джоном Непером Джоном Непером Поистине безграничны приложения показательной функции и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский учёный Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям».Джоном Непером Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретённая через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь её из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Непер (или Нейпир) Джон (Napier) ( ) шотландский математик, изобретатель логарифмов. Учился в Эдинбургском университете. Основными идеями учения о логарифмах Непер овладел не позднее 1594, однако его «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором изложено это учение, было издано в В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.

Простые уравнения вида можно решать с помощью графика, но как быть с более сложными уравнениями ? Для решения таких уравнений существует логарифм:, потому что Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифм положительного числа b по основанию a, где a>0, a1 – это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. при b>0, a>0, a1 (основное логарифмическое тождество). СВОЙСТВА: (При a>0, a1, b>0, c>0, r – любое действительное число) 1) 2) 3)

Графики логарифмической функции.

Десятичный логарифм числа Десятичный логарифм числа Десятичный логарифм числа Десятичный логарифм числа – логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо Натуральный логарифм числа Натуральный логарифм числа Натуральный логарифм числа Натуральный логарифм числа – логарифм этого числа по основанию e, где e – иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b, вместо

Изобретение логарифмов в начале XVII в. тесно связано с развитием в XVI в. производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны были быть результаты действий. Уже в середине XVI в. были разработаны основы учения о логарифмах. Но не хватало полезных, конкретных методов для широкого практического применения этих основ в вычислительной математике, не хватало основанных на осознанной идее логарифмических таблиц.

Число е 2, – одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченном возрастании n. Обозначение е ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи.

Число е иррациональное и трансцендентное. Доказательство трансцендентности числа е впервые дал французский математик Шарль Эрмит в 1873г. Число е играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е, называемая экспонентой, удивительная функция, производная которой равна ей самой:

ЗАДАЧА О РОСТОВЩИКЕ. Представителю знаменитой швейцарской династии математиков Якобу Бернулли принадлежит идея следующей задачи. Некий ростовщик дал взаймы купцу определенную сумму денег с условием, что через год тот вернёт заём в двукратном размере. Когда купец в следующий раз обратился к нему с просьбой дать денег, ростовщик изменил условия договора: за первые полгода подлежащая возврату сумма возрастает в полтора раза, а по истечению второй половины срока вновь образованная сумма увеличится ещё в полтора раза. Ростовщик рассчитал, что таким образом он повысит первоначальную сумму займа в раза, что, безусловно, выгоднее двукратного увеличения.

Постепенно в голове ростовщика сложился ещё более хитрый план: сумму, подлежащую возврату, увеличивать непрерывно. А именно: весь срок, на который купцу одалживаются деньги, разделить на большое число п равных промежутков. По истечении каждого промежутка сумма долга должна возрастать в раз. Так что к окончанию срока первоначальный заём увеличится в раз. «Наверное, это очень большое число», подумал ростовщик. Когда эту формулу вывел для себя купец, он рассудил так: «С одной стороны, показатель степени п, увеличиваясь, тянет за собой в бесконечность всю степень, поскольку основание её, больше единицы. Казалось бы, непрерывное приращение долга в конце концов выльется в колоссальную денежную сумму сверхприбыль для ростовщика и соответственно сверхубыток для меня. Но, с другой стороны, хотя основание и больше

На самом деле выражениес ростом п стремится к числу е=2, …, называемому также эйлеровым числом. Это одна из самых замечательных математических констант, основание натурального логарифма. Первые знаки числа е запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. единицы, с увеличением п оно всё стремительнее к ней приближается. А эту упрямую цифру в какую степень не возведи, всё равно лишь единицу получишь…».

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию: где b>0, a>0, a1, c>0, c1.

Свойства логарифмической функции: 1) Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел; 2) Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел; 3) Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке x>0, если a>0, и убывающей, если b1, отрицательные значения при x>1, отрицательные при 0 1.

Теорема, используемая при решении уравнений: Теорема: Если, где a>0, a1, то Доказательство: Предположим, чтонапример Если a>1, то из неравенстваследует, что если 0

Логарифмическая функция и показательная функция где a>0, a1, взаимно обратны.

Построение графиков взаимообратных функций.

Графики взаимно обратных функций.

Задание. Вычислить: Решение. Обозначим По определению логарифма Так как то, откуда Ответ:

Задание. Вычислить: Решение. Применяя свойства логарифмов, находим Ответ: 2.

Задание. Решить уравнение Решение. По формуле перехода Поэтому уравнение принимает вид откудаx=2. Ответ: x=2.

Задание. Решить неравенство: Решение. Пользуясь тем, что запишем данное неравенство так: Так как функция определена при x>0 и возрастает, то неравенство выполняется при x>0 и x

Задание. Решить уравнение: Решение. Уравнение имеет смысл, если x>0, x1. Пусть тогда и уравнение примет видили откуда Если t=2, то Еслито Найденные значения x удовлетворяют условиям, при которых уравнение имеет смысл, и являются корнями данного уравнения. Ответ:

Задание. Решить неравенство: Решение. Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая часть – при x+1>0, откуда x>-1, т.е. x>-1 – область определения неравенства. Исходное неравенство запишем так: Так как 10>1, то x+1100, откуда x99. Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1

Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина алгеброй гармонию, встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими странными вещами, как логарифмы. Известный физик Эйхенвальд вспоминал: Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах.

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях). Положим, что ноте до самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте до первой октавы будут соответствовать 2п колебания в сек., а ноте до третьей октавы - 2m · п колебания в сек. И т.д.. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой Nmn = n · 2 (12v2)p Логарифмируя эту формулу. Получаем lg Nmp = lg n + m lg2 + p(lg2)/12, lg Nmp = lg n + (m + p/12) lg2. Принимая частоту самого низкого до за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2, имеем log2 Nmp = m + p/12

Любопытная задача, взятая из книги Господа Головлевы Салтыкова- Щедрина: Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: Сколько было бы у него денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей? Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущение, что он произвел вычисления правильно (допущения маловероятное, т.к. едва ли Головлев знал логарифмы и умел вычислять сложные проценты), требуется установить, сколько % платил в то время ломбард.

Еще один пример: Завещание на сотни лет Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенжамина Франклина. Вот извлечение из него. Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастет до фунтов стерлингов. Из коих фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а – правлению Массачуйстской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов.

Оставляя всего 1000 фунтов, Фраклин распределяет миллионы. Математический расчет подтверждает, что соображения завещателя вполне реальны фунтов, увеличиваясь в 1,05 раза (т.к. капитал, приносящий 5 %, увеличивается ежегодно в 105 раз), через 100 лет должны превратиться в х = 1000 · 1,05100 фунтов. Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов lg lg1, 05 = 5,11893 откуда х = в согласии с текстом завещания. Далее фунтов в течение следующего столетия превращается в сумму у = · 1,05100, откуда вычисляя с помощью логарифмов, находим у =

Древние греки за несколько столетий до нашей эры обнаружили, что наряду с рациональными отрезками, т.е. отрезками, имеющими длины, выражаемые рациональными числами, имеются также нерациональные отрезки, длины которых выражаются рациональными числами только приближенно. Для точного выражения требуется введение новых чисел. Греки, например, умели доказывать, что диагональ квадрата со стороной длины 1 не выражается рациональным числом. Таким образом, при решении математических задач стали появляться иррациональные (нерациональные) числа. Такими, например, являются числа, квадраты которых равны 2, 3, 17. Примеры таких чисел знал, а может быть, и впервые их открыл Пифагор – знаменитый греческий математик VI в. до н.э. Другой знаменитый математик древности – Архимед в III в. до н.э. установил, что отношение длины любой окружности к ее диаметру, обозначаемое теперь буквой, заключено между дробями и, точно определив три цифры после. Обозначения иррациональных чисел и e впервые ввел великий запятой числа математик, член Российской академии наук Леонард Эйлер в 1736г.

1. Решите уравнение 1)±7; 2)12; 3)±; 4)3. 2. Найдите область определения функции 1)(-;2)(4;+); 2)(0;4); 3)(0,5;4); 4)(-4;2). 3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 1)(-5;-3); 2)(-2;3); 3)(4;7); 4)(-3;0).

1. Решите неравенство 2. Найдите частное наибольшего и наименьшего целых чисел, входящих в область определения функции 3. Найдите значение выражения

1. Из области определения функции выбрали все натуральные числа и нашли их сумму. Найдите все значения a, при которых полученная сумма будет больше 31, но меньше Найдите производную функции в точке 3. Решите уравнение

Задание: Решите уравнение Решение: ОДЗ: 6-x>0. Пусть, где k-любое число, тогда Значит, x=3 Проверка: 6-3>0, верно, 3 Є ОДЗ. Ответ: x=3 (4).

Задание: Найдите значение выражения Решение:

Задание: Из области определения функции выбрали все натуральные числа и нашли их сумму. Найдите все значения a, при которых полученная сумма будет больше 31, но меньше 41. определения задается условием Решение: Из определения логарифма получаем, что область Заметим, что и воспользуемся формулами преобразования логарифмов. Получаем: Заменим

При этом из свойств логарифмической функции получаем, что t>0, поскольку рассматриваются натуральные значения x, значит x>1, a 2+2 при любом допустимом значении a. Получаем неравенство 6t+1- >0, которое с учетом оговоренного равносильно неравенству +t-2>0. На множестве t>0 его решением является t>. Итак, должно выполняться неравенство откуда, с учетом x>1, получаем Наконец, сумма натуральных значений x должна находиться между 31 и 41. Так как наименьшее значение x=2, получаем арифметическую прогрессию, причем d=1. Тогда,применяя формулу суммы n членов, получаем:

Легко увидеть, что единственным натуральным n, удовлетворяющим этому двойному неравенству, является 7. Значит, взято ровно 7 натуральных значений x и наибольшим из них является число 8. Тогда из неравенства следует, что Тогда Ответ:

log (x + 4) 2 log (x + 2) 0 < 2cosα < 1 x + 4 > 0 x + 2 > 0 опр. логар. или 2cosα > 1 x + 4 > 0 x + 2 > 0 x + 4 (x + 2) монотн. логар. ф-ции 0 < cosα < x > -2 +3x 0 cosα > x > х 0 1.

[0;+ ) (-2;0] - y x - - y x Ответ: при α (- +2k; -+2k)k)( k;k; k), k Z, x [0; + ) при α (- +2k;+2 k), k Z, x (-2;0]

Т.к. |cos m| 1, то равенство возможно при условии |cos ((x – 2) cos x)| = 1 (9– 39x + 43) = 0 Решим 2 уравнение D = 169 – 168 = 1Подставим в 1 уравнение x = 2|cos 0| = 1что верно |cos (1,5 cos 3,5)| = 1что неверно Ответ: 2 2.

Задание. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства, а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий. 3. Решение. 1)По условию Еслито

Еслитои Кроме того, так както. Значит, Следовательно, все числа в интервале являются решениями исходного неравенства. Объединяя найденные множества решений, получаем ответ: 2) Пустьи– первый член и разность прогрессии. Если илежат в одном и том же из двух промежутков и, то в нем лежит и. Но тогда третий член

прогрессии также будет решением заданного неравенства. Противоречие. Значит, 3) Требуется найти все значения, при которых эта система неравенств имеет решения относительно неравенства относительно. Выпишем четыре : Систему этих линейных неравенств решим графическим способом. Построим прямые,,,,,. На интервалепрямая

лежит ниже прямыхи, а прямаялежит выше прямых и, 4) Поэтому достаточно найти все значения, при которых решения имеет только одно неравенство. Прямые ипересекаются в точкеи Ответ: