Метод координат в пространстве Высь, ширь, глубь, Лишь три координаты. Мимо них где путь? Засов закрыт... (В. Брюсов)

11 класс.

Цели урока: Ввести понятия угла между векторами и скалярного произведения векторов. Рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах. Показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.

Домашнее задание: Стр. 112 п. 50, ( г, д) 443(б, в, е) 444(б,в) 445(г) (б) 453 Геометрия приближает разум к истине. Платон

К доске 439(а) Дано: х у z 1 1 1О Найти: А В К

Повторение : Сверхскоростной Математический диктант а) Запишите координаты б) Где расположена точка A(– 3; 0; 0) ? в) Запишите координаты г) Укажите взаимное расположение д) D (-3; 0; -5) Разложите по координатным векторам

Повторение : Сверхскоростной Математический диктант е) Как вычислить длину вектора по его координатам? ж) Где находится точка K(5; 0; – 3) ? з) Как определить координаты середины отрезка? и) Вычислите расстояние между точками A(-1;0;2) и B(1;-2;3)

Проверка выполнения 439(а) х у z 1 1 1О Решение: А В К Центр окружности К – середина гипотенузы АВ. Найдем координаты К. К (2; 3; 0) Ответ:

I. Угол между векторами. О А В α Если то Если то Если то ab =

a d Найти углы между векторами.b 30 0 ab = c f ac = bc = df = dc = a b d f bc bd сf ?

Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой. О

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найдите угол между векторами BB 1, AC = C В 1 В, В 1 С = DА, B 1 D 1 = А1C1, A1B =А1C1, A1B =А1C1, A1B =А1C1, A1B = А 1 D 1, BC = AА1, C1C =AА1, C1C =AА1, C1C =AА1, C1C = B A D C1C1C1C1 D1D1D1D1 A1A1A1A1 B1B1B1B

Угол между векторами и равен. Найдите углы между векторами ВА, DС = ВА, СD = АB, DC = АВ СD C D BА O (C) (A) B D – –

II. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скаляр – лат. scale – лестница, шкала. Ввел в 1845 г. У. ГАМИЛЬТОН, английский математик. Сумма векторов – вектор. Разность векторов – вектор. Произведение вектора на число – вектор. Скалярное произведение векторов – число (скаляр).

ab= a b cos 90 0 a b = 0 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.ab Обратно: если, то векторы и перпендикулярны. ab = 0= 0= 0= 0ab ab = 0= 0= 0= 0 ab Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. ab = 90 0

ab= a bcosa b острый. Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый.ab > 0> 0> 0> 0 > 0 ab < 90 0 ab

ab= a bcosa b тупой. Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.ab < 0< 0< 0< 0 < 0 ab > 90 0 ab

ab = ab= a b cos 0 0 a b11 ab = 00= 00= 00= 00 Еслиab ab= a b cos180 0 a b ab = Еслиab = – ab

aa= a acosa aa = 00= 00= 00= 00 aa = = a 2 Скалярное произведение называется скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначаетсяaaa a 2a 2a 2a 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2a 2a 2a 2= a 2

D1D1D1D АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов C B A D C1C1C1C1 A1A1A1A1 B1B1B1B1 a a A 1 O 1 A 1 C 1 BO 1 C 1 B D 1 O 1 B 1 O 1 BA 1 BC 1 D 1 B AC AD B 1 C 1 AC C 1 A 1 O1O1O1O а) г) д) ж)

Скалярное произведение в физике A = F MN cos F N M A = F MN N F MN точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. AF M Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в

I I I. Формула скалярного произведения векторов в пространстве. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. 444(а,г,д), 445(а,д)

I Y. Вывод формулы cos α для двух ненулевых векторов в пространстве, зная их координаты. 446(а), 449

Свойства скалярного произведения Стр.113

443 (г) Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = а; О 1 – центр грани А 1 В 1 С 1 D 1 Найти: 1 способ: Ответ: а 2 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D

443 (г) Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = а; О 1 – центр грани А 1 В 1 С 1 D 1 Найти: 2 способ: C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D Ответ: а 2

443 (г) Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = а; О 1 – центр грани А 1 В 1 С 1 D 1 Найти: 3 способ: C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D Введем прямоугольную систему координат. х у z Ответ: а 2

A(0; 1; -2), В( ;1;2), С( ;2;1), Д(0;2;1) Дано: A(0; 1; -2), В( ;1;2), С( ;2;1), Д(0;2;1) АВСД Докажите: АВСД – квадрат План: 1)АВСД 1)АВСД – параллелограмм 2)АВСД 2)АВСД – ромб 3)АВСД 3)АВСД – квадрат 450

АВСD Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. МN АDВС Точки М и N – середины ребер АD и ВС. Докажите: MN AD = 0 B C N A D M 461 Дано:

443 Решаем по группам: 1 – а) 2 – б) 3 – в) а2а2 -2а 2 0 Дополнительная задача: Вычислите угол между вектором а и координатным вектором i.

Решение задач. Найдите угол между векторами: C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D а) и 45 0 б)и 45 0 в) Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. и 135 0