Геометрия, 11 класс Система координат в пространстве Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Вспомним, как определяется координатная(числовая) прямая. 1)Изображаем произвольную прямую; х 01 М а Тогда любой точке этой координатной прямой соответствует единственное действительной число a. И наоборот, любое действительное число может быть изображено единственной соответствующей точкой, для которой это число является координатой. Записывают: M( a ). 2) Придаем ей положительное направление и обозначаем её; 3) Выбираем произвольную точку за начало отсчета; 4) Определяем длину единичного отрезка (масштаб).

А теперь, что мы подразумеваем под координатной плоскостью. у х М а b M ( a ; b )

x y z 0 1 Ox Oy Oz Ox – ось абсцисс Oy – ось ординат Oz – ось аппликат Координатные оси: Выберем в пространстве три попарно перпендикулярные координатные прямые x, y, z, пересекающиеся в одной точке 0, соответствующей началу координат каждой оси. 1 1 Пунктиром показаны отрицательные части осей.

xz xy yz x y z Координатные плоскости: Oxz OxyOyz

Координатные плоскости: xz xy yz

xy Положение любой точки в пространстве определяется тремя координатами. Проследим как их получить: 1) проведем перпендикуляр из точки A к плоскости Oxy, обозначив точку пересечения A xy ( или A xy – ортогональная проекция точки A на плоскость Oxy ) ; x y z A A xy 1

x y 1 1 A A yz A xz A xy AxAx AyAy z 1 2) Далее, в плоскости Oxy, из точки A xy опустим перпендикуляры на координатные оси этой плоскости; 3) Построим прямую пересечения A x A xz плоскостей Оxz и (A A xу A x ) – по свойству она параллельна A A ху ; аналогично, Оуz (AA xу A у )= A y A yz ; 0

yz xz x y 1 1 A A yz A xz A xy AxAx AyAy z 1 4) Таким образом, мы получили ортогональные проекции точки A на координатные плоскости – точки A xz и A yz ; 5) Осталось опустить перпендикуляры из точек A yz и A xz на координатную ось аппликат; 0 AzAz

x y A A yz A xz A xy AxAx AzAz AyAy z Тогда, AA x Ox, AA y Oy и AA z Oz (объясните почему?). Числа a ; b ; c, соответствующие координатам точек A x, A y и A z на числовых осях и являются координатами точки A. Записывают : A ( a ; b ; c ). Очевидно, что начало координат в пространстве O (0; 0; 0). c b a

x y A A yz A xz A xy AxAx AzAz AyAy z Координаты точки можно понимать как линейные размеры | a | | b | | c | прямоугольного параллелепипеда (если координата отрицательная, то берется модуль числа), а положение точки – противоположная началу координат вершина получающегося прямоугольного параллелепипеда. Т.е. модуль каждой координаты равен расстоянию от данной точки до одной из координатных плоскостей. |a| |b| |c| a c b

1 x y z Пример 1. Изобразить точки A(1; 2; 3), B (2; 2; 1) и C(2; 2; 3). A (1; 2; 3) Для изображения точки A построим ломанную, состоящую из трех последовательных звеньев. От начала координат откладываем 1 ед.отр. вдоль оси Ox. Затем второе звено длиной 2 ед.отр. параллельно оси Oy. И последний отрезок длиной 3 ед.отр. параллельно оси Oz.

x y z A A (1; 2; 3) B 2 B (2; 2; 1) C (2; 2; 3) C Проследите и самостоятельно сформулируйте построение точек B и C.

1). Если одна из координат точки равна 0, то точка лежит в одной из координатных плоскостей; (например, M Oyz, N Oxz, K Oxy ). x y z Отметим некоторые свойства координат точек: 2). Если две координаты точки равны 0, то точка принадлежит одной из координатных осей; (например, P Ox, S Oy, R Oz) M (0; 2; 3) 0 N (2; 0; 1) 0 K (1; 3; 0) P (2; 0; 0) 00 R (0; 0; 2) 00 S (0; 2; 0)

x y z A 1 a b c Пусть A ( a ; b ; c ) a b c A0A0 Построим точку A 0, симметричную данной точке относительно точки O. 3). Тогда координаты точки A 0 ( a ; b ; c ). Центральная симметрия

x y z A 1 a b c Пусть A ( a ; b ; c ) c b A1A1 Построим точку A 1, симметричную данной точке относительно оси Ox. 4). Тогда координаты точки A 1 ( a ; b ; c ). Осевая симметрия

x y z A 1 a b c Пусть A ( a ; b ; c ) c a A2A2 Построим точку A 2, симметричную данной точке относительно оси Oy. 5). Тогда координаты точки A 2 ( a ; b ; c ). Осевая симметрия

x y z A 1 a b c Пусть A ( a ; b ; c ) a b A3A3 Построим точку A 3, симметричную данной точке относительно оси Oz. 6). Тогда координаты точки A 3 ( a ; b ; c ). Осевая симметрия

x y z A 1 a b c Пусть A ( a ; b ; c ) c A4A4 Построим точку A 4, симметричную данной точке относительно плоскости Oxy. 7). Тогда координаты точки A 4 ( a ; b ; c ). Зеркальная симметрия

x y z A 1 a b c Пусть A ( a ; b ; c ) b A5A5 Построим точку A 5, симметричную данной точке относительно плоскости Oxz. 8). Тогда координаты точки A 5 ( a ; b ; c ). Зеркальная симметрия

x y z A 1 a b c Пусть A ( a ; b ; c ) A6A6 9). Тогда координаты точки A 6 ( a ; b ; c ). Зеркальная симметрия Построим точку A 6, симметричную данной точке относительно плоскости Oyz. a

x y A z 1 Расстояние между точками A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) B x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 z1z1 z2z2 |x 1 –x 2 | |y 1 –y 2 | |z 1 –z 2 | C

x y A z 1 Координаты середины отрезка АВ, где A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) B x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 z1z1 z2z2 M