Точки Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший научное изложение геометрии, в своей книге "Начала" определял точку как то, что не имеет частей. Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п. Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C,..., A 1, B 2, C 3,..., A', B'', C''',...

Прямые и плоскость Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c,..., a 1, b 2, c 3,..., a', b'', c''',..., или двумя прописными латинскими буквами AB, CD,..., A 1 B 1, C 2 D 2,..., A'B', C''D'',... Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

Точки и прямые Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек. В качестве аксиомы принимается следующее свойство прямых: Через любые две точки проходит единственная прямая Точка может принадлежать данной прямой, в этом случае говорят также, что прямая проходит через точку, а может и не принадлежать ей, в этом случае говорят, что прямая не проходит через точку.

Обозначения ЗаписьЧтение Точка A, точка B, точка C, …A, B, C, … a, b, c, … AB, CD, … Прямая a, прямая b, … Прямая AB, прямая CD, … Точка A принадлежит прямой a. Точка B не принадлежит прямой a.

Вопрос 1 Какие геометрические фигуры являются основными? Ответ: Точка, прямая, плоскость.

Вопрос 2 Какие объекты идеализирует точка? Ответ: Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких, размерами которых можно пренебречь.

Вопрос 3 Какие объекты идеализирует прямая? Ответ: Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы, по прямой распространяется свет.

Вопрос 4 Какие объекты идеализирует плоскость? Ответ: Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

Вопрос 5 Как Евклид определял точку? Ответ: Евклид определял точку как то, что не имеет частей.

Вопрос 6 Как изображаются точки? Ответ: Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п.

Вопрос 7 Как обозначаются точки? Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C, ….

Вопрос 8 Как проводятся прямые? Ответ: Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки.

Вопрос 9 Как обозначаются прямые? Ответ: Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c,..., или двумя прописными латинскими буквами AB, CD,....

Вопрос 10 Какие свойства основных геометрических фигур называются аксиомами? Ответ: Аксиомами называются свойства геометрических фигур, принимаемые без доказательства.

Вопрос 11 Как переводится слово «аксиома» с греческого языка? Ответ: Достойное признания, не вызывающее сомнения.

Вопрос 12 Как могут располагаться друг относительно друга точка и прямая? Ответ: Точка может принадлежать данной прямой, а может и не принадлежать ей.

Вопрос 13 Какое свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек и прямой? Ответ: Через любые две точки проходит единственная прямая.

Вопрос 14 Какие две прямые называются пересекающимися? Ответ: Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Вопрос 15 Какие две прямые называются параллельными? Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

Упражнение 1 Сколько прямых можно провести через: а) одну точку; б) две точки? Ответ: а) Бесконечно много; б) одну.

Упражнение 2 Сколько прямых можно провести через три точки? Ответ: Либо одну, либо ни одной.

Упражнение 3 Сколько прямых изображено на рисунке? Сколько у них точек попарных пересечений? Ответ: 5 прямых, 10 точек.

Упражнение 4 Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек, не лежащих на одной прямой? Ответ: Три.

Упражнение 5 Сколько прямых можно провести через различные пары из четырех точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 6.

Упражнение 6 Сколько прямых можно провести через различные пары из пяти точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 10.

Упражнение 7* Сколько прямых можно провести через различные пары из n точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Решение: Пусть A 1, …, A n – n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Зафиксируем точку A 1. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A 1 проходит одна прямая, то через точку A 1 будет проходить n – 1 прямая. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки A 1, справедливы для любой другой точки. Поскольку всего n точек и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число прямых, посчитанных для всех точек, будет равно n(n – 1). При этом, поскольку одна прямая проходит через две точки, то каждую прямую посчитаем дважды, один раз как прямую, проходящую через одну точку, а другой – как прямую, проходящую через вторую точку. Поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, будет равно.

Упражнение 8 Сколько различных точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Ответ: Ни одной, одну, две, три.

Упражнение 9 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые? Ответ: 6.

Упражнение 10 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых? Ответ: 10.

Упражнение 11* Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь n прямых? Решение: Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая прямая имеет n – 1 точку пересечения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи 7. Имеется n прямых и на каждой прямой n – 1 точка. При этом, каждая точка принадлежит ровно двум прямым. Следовательно, число точек попарных пересечений будет равно.