Подготовка к ЕГЭ-2010 Векторы и координаты Учитель математики МОУ СОШ 9 х.Железного Усть - Лабинского района Краснодарского края Самойлова О.А.

Векторы и координаты - Надо же как всё просто. - Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного. Р.Бах.Иллюзии z у х

Найти площадь треугольника, изображенного на рисунке. Найти площадь треугольника, изображенного на рисунке, можно заметив, что вершины этого треугольника лежат на сторонах прямоугольника с длинами сторон 7 и 3. S Тогда искомая площадь треугольника равна: площадь прямоугольника S минус площади трех прямоугольных треугольников. S треуг. = S - S 1 - S 2 - S 3 S треуг. = 21 – 3 – 5 – 3,5 = 9,5 S3S3 S1S1 S2S2

Площадь прямоугольника S=8*3=24, Площадь квадрата S 1 =1*1=1 Площадь треугольника S 2 =0,5*1*4=2 Площадь треугольника S 3 =0,5*1*2=1 Площадь треугольника S 4 =0,5*1*3=1,5 Площадь треугольника S 5 =0,5*2*8=8 Площадь четырехугольника равна: 24-( ,5+8)=10,5 Найти площадь четырехугольника, изображенного на рисунке. S1 S2 S3 S4 S5 Самостоятельно:

Найти площадь четырехугольника вершины которого имеют координаты (1;5), (3;6), (5;3), (5;-1). (1;5) (3;6) (5;3) (5;-1) у х В ПСК построим данный четырехугольник. И найдем его площадь. S=7*4 – (0,5*1*2+0,5*2*3+0,5*6*4) = 12

Самостоятельная работа: Вариант 1Вариант 2 1.Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке. 2. Найти площадь треугольника, вершины которого имеют координаты: (4;6), (10;6), (11;8) (1;4), (7;3), (9;1) Проверь себя

Использование векторов и координат при решении задач С2 В правильной призме АВСА 1 В 1 С 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и А 1 С. А В С А1А1 В1В1 С1С1 Решение: АВ = АС + СВ и А 1 С = А 1 А + АС Найдем произведение равенств АВ * А 1 С = АС * А 1 А + АС * АС + СВ * А 1 А + СВ * АС Т.к. скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними получим: 1* *cosα=1*1*cos *1* cos0 0 +1*1*cos *1*cos120 0 Отсюда: cosα = /4 1 способ 1 способ А В С С1С1 В1В1 А1А1 Поскольку А 1 В 1 АВ, искомый угол равен углу В 1 А 1 С. Из теоремы косинусов для треугольника В 1 А 1 С получим 3 способ 3 способ 3 способ 2 способ 2 способ

3 способ решения данной задачи: X Y Z А В С А1А1 В1В1 С1С1 Зададим прямоугольную систему координат, так чтобы точка А совпадала с началом отсчета, точка А 1 лежала на положительной полуоси ОZ, а точка В на положительной полуоси OY. (0;0;0) (0;1;0) (0;0;1) Найдем координаты точек А, В, А 1, С. Координаты вектора А 1 С { }, вектора АВ {0;1;0}. Тогда по формуле нахождения косинуса угла между векторами имеем: /2; 1/2; -1 cosα = / 4 ( /2; 1/2;0)

Задача С2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E,F – середины ребер соответственно SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF. Решение: АЕ = АВ + ВЕ и BF = BE + EF Найдем скалярное произведение данных равенств: AE*BF = АВ*BE + АВ*EF + ВЕ*ВЕ + ВЕ*EF Скалярное произведение векторов найдем как произведение их длин на косинус угла между ними. Получим: 3/4cosa=1/2cos cos /4cos /4cos60 0 3/4cosa= -1/4 + 1/4 + 1/8 cosa=1/6

Удачи на экзаменах !!! Надейся на себя!!!

Список использованной литературы: 1.Единый государственный экзамен. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Математика. Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко. ФИПИ «Интеллект-Центр». 2.Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ А.Т.Клово, Д.А.Мальцев, Л.И.Абзелилова, НИИ Школьных технологий. Москва.