Геометрические задачи типа «С4» по материалам ЕГЭ – 2010 МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа 1» Чудаева Елена Владимировна, учитель математики, г. Инсар, Республика Мордовия

Задачи Помните:

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А В С Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. 3ч D 8ч А ВС D F E 3ч 8ч Рассмотрим 1 случай. 1 E F

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А В С Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. 3ч D 8ч Рассмотрим 1 случай. Найдем: Значит, Из ADC, Из ADВ, 1 E F

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение.Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Значит, Из ADC, Из ADВ, А ВС D F E 3ч 8ч Ответ: 9 или 1 Рассмотрим 2 случай.

Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно А В С О x xy y z z Доказательство. М N К Мы знаем, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, значит AM=AK= x, BM=BN= y, CK=CN= z. Тогда, периметр АВС равен:, откуда или Вспомогательная задача.

Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14, опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M. Найдите HM. Решение. Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14. По условию АВС НВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая. 1 случай. ВМН = ВАС; А ВС Н М 2 случай. ВМН = АСВ; АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2. значит,, значит, Ответ: 2

1)нижнее основание вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a, 2)верхнее основание вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a. Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь четырехугольника OMPN, если одно из оснований трапеции втрое больше другого. А PD M N O ВС Решение. Возможно два вида трапеции. Найдем площадь ОMPN: В обоих случаях: Рассмотрим первый случай. 3 S MONP =S AOD – S AMP – S PND.

По условию BC = a, АD = 3a, аh = ) BOC AOD, по трем углам h Значит высота AOD равна, тогда: 2) BMC AMP, по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: а 3а S MONP =S AOD – S AMP – S PND.

По условию BC = 3a, АD = a, аh = ) BOC AOD, по трем углам h Значит высота AOD равна, тогда: 2) BMC AMP, по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: А PD M N O ВС Ответ: 27 или 5. 3а а S MONP =S AOD – S AMP – S PND.

D A B C D A B C 4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. O МN М N O Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию значит М лежит между точками В и N. Возможны два случая. 1) точка О – лежит внутри параллелограмма; Рассмотрим первый случай. 2) точка О – лежит вне параллелограмма. 12

D A B C 4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. O МN Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию значит М лежит между точками В и N. Рассмотрим первый случай. 12 1) ABN – равнобедренный, т.к. ВNА= NAD- накрест лежащие; значит ВNА= ВAN и AB=BN=12, АN – биссектриса А, тогда Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5. 2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12. Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5. 3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13,5. 1,5 10,51,5

4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма. 1) ABМ– равнобедренный, т.к. Тогда АВ=ВМ=12. 2) Аналогично DNC– равнобедренный, 3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108. D A B C М N O 12 ВMА= MAD- накрест лежащие; значит ВMА= ВAM. АМ – биссектриса А, По условию значит Ответ: 13,5 или 108. тогда NC=DC=12.

ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9 %D0%BB%D1%8B Использованные ресурсы Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина Рисунок на слайде 2 Для создания шаблона презентации использовалась картинка и шаблон с сайта